Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie novembre 2007
N.B. Dans le programme officiel maths TS 2011, le « théorème des gendarmes » n'est mentionné qu'au sujet des suites, et est impérativement admis.
Exercice 3
Question de cours
1. Soit une fonction réelle définie sur . Compléter la phrase suivante :
- On dit que admet une limite finie en si
2. Démontrer le "théorème des gendarmes".
Soient , et trois fonctions définies sur et un nombre réel.
Si et ont pour limite commune quand tend vers ,
et si pour tout assez grand, ,
alors la limite de quand tend vers est égale à .
Partie A
Soit la fonction définie sur par :
et soit sa courbe représentative dans un repère orthonormal du plan.
La droite d'équation est asymptote à .
1. Soit un nombre réel. Écrire, en fonction de ,
une équation de la tangente à au point d'abscisse .
f est dérivable sur et .
L'équation de la tangente (T) en est :
donc
finalement (T) a pour équation :
2. Cette tangente coupe la droite au point d'abscisse . Vérifier que .
L'ordonnée du point d'intesection d'abscisse b vérifie l'équation :
si et seulement si :
si et seulement si :
comme pour tout réel a, est non nul, ceci équivaut à :
si et seulement si :
3. En déduire une construction de la tangente à au point d'abscisse 1,5.
(T) est la droite passant par
et par .
Partie B
1. Déterminer graphiquement le signe de .
Pour tout réel x, on constate graphiquement que .
En fait f ne s'annule qu'en .
2. En déduire, pour tout entier naturel non nul , les inégalités suivantes :
Pour tout entier n strictement positif, en posant dans l'inégalité , on obtient :
donc on obtient l'inégalité (1) :
.
Pour tout entier n strictement positif, en posant dans l'inégalité , on obtient :
donc il s'ensuit l'inégalité (2) :
3. En utilisant l'inégalité (1), démontrer que, pour tout entier naturel non nul :
Puisque n est strictement positif, la fonction est strictement croissante sur l'intervalle .
On l'applique aux deux membres de l'inégalité (1) qui est conservée :
.
donc
4. a) Déduire de l'inégalité (2) l'inégalité (3) suivante :
On a
Les deux membres sont strictement positifs. En leur appliquant la fonction , décroissante sur , l'inégalité change de sens et devient :
- b) Démontrer que pour tout entier naturel non nul n :
Pout tout n strictement positif :
- c) En déduire que pour tout entier naturel non nul n :
D'après (3) et (4b),
En appliquant la fonction , croissante sur , aux deux membres positifs :
donc
.
5. Déterminer à partir des questions précédentes un encadrement de :
puis sa limite en .
D'après (4c), pour tout n entier strictement positif :
donc en divisant par , on obtient :
donc avec (3), on a l'encadrement :
.
Or et
donc d’après le théorème "des gendarmes" :