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Montrer par récurrence les propriétés suivantes :
- ;
- ;
- est multiple de 3.
Solution
- Notons la propriété « ».
- Intitialisation : et , donc est vraie.
- Hérédité : soit tel que soit vraie, montrons que est vraie.
Par définition, est égal à donc (par hypothèse de récurrence) à , donc est vraie. - Conclusion : le principe de récurrence permet de conclure : .
- Remarque : et par convention sur les sommes vides donc est vraie. Cette convention est cohérente avec la définition par récurrence des sommes indexées utilisée dans la preuve d'hérédité ci-dessus, qui reste valide pour . On aurait donc pu initialiser la récurrence à et démontrer ainsi : .
- Notons la propriété « ».
- Hérédité : soit tel que soit vraie, essayons de montrer que est vraie.
est inférieur ou égal (par hypothèse de récurrence) à qui, à condition que , est lui-même majoré par . On a donc bien , mais seulement pour tout entier . Ceci oblige à initialiser la récurrence à , et à étudier séparément le cas . - Intitialisation : et , donc est vraie.
- Conclusion : le principe de récurrence permet de conclure : .
- Cas : et . Puisque , est vraie.
- Synthèse : de et , on déduit : .
- Hérédité : soit tel que soit vraie, essayons de montrer que est vraie.
- Notons la propriété « est multiple de 3 ».
- Intitialisation : , donc est vraie.
- Hérédité : soit tel que soit vraie, montrons que est vraie.
Par hypothèse de récurrence, il existe un entier tel que . Alors, donc est vraie. - Conclusion : le principe de récurrence permet de conclure : .
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