Hypothèse d'égalité d'un paramètre statistique avec un nombre fixé

• Un paramètre ${\displaystyle a}$ d'une population est inconnu.

On désire savoir s'il est égal à un nombre ${\displaystyle a_{0}}$ annoncé à l'avance.

On a donc l'hypothèse ${\displaystyle H_{0}}$ : "le paramètre réel ${\displaystyle a}$ est égal au paramètre annoncé ${\displaystyle a_{0}}$".

L'hypothèse alternative ${\displaystyle H_{1}}$ : "le paramètre réel ${\displaystyle a}$ est différent du paramètre annoncé ${\displaystyle a_{0}}$".

• On prélève un échantillon de taille ${\displaystyle n}$ de paramètre ${\displaystyle a_{n}}$ :
• En utilisant des théorèmes de probabilités, on donne un intervalle d'acceptation ${\displaystyle I_{\alpha }}$ de ${\displaystyle H_{0}}$ au seuil de risque ${\displaystyle \alpha }$.

si ${\displaystyle a_{e}\in I_{\alpha }}$ alors l'hypothèse ${\displaystyle H_{0}}$ est acceptée.

sinon elle est refusée.

Hypothèse d'égalité d'une moyenne avec un nombre fixé

• La moyenne ${\displaystyle m}$ d'une population est inconnue.

On désire savoir si elle est égale à un nombre ${\displaystyle m_{0}}$ annoncée à l'avance.

On a donc l'hypothèse ${\displaystyle H_{0}}$ : "la moyenne réelle ${\displaystyle m}$ est égale à la moyenne annoncée ${\displaystyle m_{0}}$".

• On prélève un échantillon de taille ${\displaystyle n}$ de moyenne ${\displaystyle m_{n}}$ :
• D'après l'intervalle de confiance de la moyenne, et sous l'hypothèse ${\displaystyle H_{0}}$,

la moyenne ${\displaystyle m_{n}/,}$ des échantillons de taille ${\displaystyle n}$ suit une loi normale ${\displaystyle N(m_{0},{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}})}$.

Ceci donne un intervalle d'acceptation ${\displaystyle I_{\alpha }}$ de ${\displaystyle H_{0}}$ au seuil de risque ${\displaystyle \alpha }$.

${\displaystyle [m_{0}-t{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}};m_{0}+t{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}]}$

où ${\displaystyle t}$ est le nombre tel que ${\displaystyle \Pi (t)=1-{\frac {\alpha }{2}}}$ et se lit dans la table de la loi normale N(0;1)

Par exemple, si ${\displaystyle \alpha =0,1}$, cela signifie que 90 % des échantillons ont une moyenne dans cette intervalle.

On en déduit la règle du test :

• si ${\displaystyle m_{e}\in I_{\alpha }}$ alors l'hypothèse ${\displaystyle H_{0}}$ est acceptée.
• sinon elle est refusée.

Ainsi, en supposant que l'on rejette ${\displaystyle H_{0}}$, cela signifie que :

• Soit on a un échantillon non représentatif (ce qui ne se produit que dans 10 % des cas).
• Soit l'hypothèse ${\displaystyle H_{0}}$ est effectivement fausse.

La probabilité de rejeter ${\displaystyle H_{0}}$ alors qu'elle est vraie est donc de 10 %.

C'est le risque de première espèce.

Remarque

• Accepter ${\displaystyle H_{0}}$ alors qu'elle est fausse est le risque de deuxième espèce.

Il n'est pas identique au premier.

On pourrait procéder de même avec une fréquence ou tout autre paramètre statistique.

Comparaison d'un paramètre statistique avec un nombre fixé

• Un paramètre ${\displaystyle a}$ d'une population est inconnu.

On désire savoir s'il est égal à un nombre ${\displaystyle a_{0}}$ annoncé à l'avance.

On a donc l'hypothèse ${\displaystyle H_{0}}$ : "le paramètre réel ${\displaystyle a}$ est égal au paramètre annoncé ${\displaystyle a_{0}}$".

L'hypothèse alternative ${\displaystyle H_{1}}$ : "le paramètre réel a est strictement supérieur au paramètre annoncé ${\displaystyle a_{0}}$".

• On prélève un échantillon de taille ${\displaystyle n}$ de paramètre ${\displaystyle a_{n}}$ :
• En utilisant des théorèmes de probabilités, on donne un intervalle d'acceptation ${\displaystyle I_{\alpha }}$ de ${\displaystyle H_{0}}$ au seuil de risque ${\displaystyle \alpha }$.

si ${\displaystyle a_{e}\in I_{\alpha }}$ alors l'hypothèse ${\displaystyle H_{0}}$ est acceptée.

sinon elle est refusée.

Comparaison d'une moyenne avec un nombre fixé

• La moyenne ${\displaystyle m}$ d'une population est inconnue.

On désire savoir si elle est supérieure à un nombre ${\displaystyle m_{0}}$ annoncé à l'avance.

On a donc l'hypothèse ${\displaystyle H_{0}}$ : "la moyenne réelle ${\displaystyle m}$ est égale à la moyenne annoncée ${\displaystyle m_{0}}$".

L'hypothèse alternative ${\displaystyle H_{1}}$ : "la moyenne réelle ${\displaystyle m}$ est strictement supérieure à la moyenne annoncée ${\displaystyle m_{0}}$".

• On prélève un échantillon de taille n de moyenne ${\displaystyle m_{n}}$ :
• D'après l'intervalle de confiance de la moyenne, et sous l'hypothèse ${\displaystyle H_{0}}$, la moyenne ${\displaystyle m_{n}/,}$ des échantillons de taille ${\displaystyle n}$ suit une loi normale ${\displaystyle N(m_{0},{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}}$.

Ceci donne un intervalle d'acceptation ${\displaystyle I_{\alpha }}$ de ${\displaystyle H_{0}}$ au seuil de risque ${\displaystyle \alpha }$.

${\displaystyle [-\infty ;m_{0}+t{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}]}$

où ${\displaystyle t}$ est le nombre tel que ${\displaystyle \Pi (t)=1-\alpha }$ et se lit dans la table de la loi normale N(0;1)

Par exemple, si ${\displaystyle \alpha =0,1}$, cela signifie que 90 % des échantillons ont une moyenne dans cette intervalle.

On en déduit la règle du test :

• si ${\displaystyle m_{e}\in I_{\alpha }}$ alors l'hypothèse ${\displaystyle H_{0}}$ est acceptée.
• sinon elle est refusée.

Ainsi, en supposant que l'on rejette ${\displaystyle H_{0}}$, cela signifie que :

• Soit on a un échantillon non représentatif (ce qui ne se produit que dans 10 % des cas).
• Soit l'hypothèse ${\displaystyle H_{0}}$ est effectivement fausse.

La probabilité de rejeter ${\displaystyle H_{0}}$ alors qu'elle est vraie est donc de 10 %.

C'est le risque de première espèce.

Remarque

• Accepter ${\displaystyle H_{0}}$ alors qu'elle est fausse est le risque de deuxième espèce.

Il n'est pas identique au premier.

On pourrait procéder de même avec une fréquence ou tout autre paramètre statistique.