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Une coopération laitière fabrique un fromage devant contenir, selon l'étiquette, 50 % de matière grasse. Un organisme de contrôle qualité prélève 100 fromages et les analyse. Voici les résultats.
Taux de matière grasse mesuré | [ 45 ; 47 [ | [ 47 ; 49 [ | [ 49 ; 51 [ | [ 51 ; 53 [ | [ 53 ; 55 [ |
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Effectif | 6 | 25 | 45 | 21 | 3 |
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- Tracer le polygone des effectifs cumulés croissants.
- Déterminer graphiquement la médiane et les quartiles.
- Déterminer le taux moyen de matière grasse x et l'écart type σ de cet échantillon.
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L’appellation « 50 % de matière grasse » peut être utilisée si les deux conditions suivantes sont remplies :
- le nombre 50 à l'intervalle [x − 0,3 ; x + 0,3]
- plus de 90 % des fromages analysés ont un taux de matière grasse appartenant à l'intervalle [x − 2σ ; x + 2σ]
Que dire de la production de cette coopérative ? Expliquer.
Solution
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On a le polygone des des effectifs cumulés croissants suivant :
- La médiane vaut environ 48,8 % de matière grasse sur la ligne 50 (l'effectif total2), le 1er quartile vaut environ 47,5 % sur la ligne 25 (l'effectif total4) et le 3e quartile vaut environ 49,9 % sur la ligne 75 (34 × l’effectif total).
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On a le polygone des des effectifs cumulés croissants suivant :
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La moyenne est calculée par :
La moyenne vaut 49,8 % de matière grasse.
L'écart type σ de cet échantillon est calculé par :
L'écart type de cet échantillon vaut 1,8.
- La première condition est si la pourcentage 50 appartient à [ x - 0,3 ; x + 0,3 ] qui vaut [ 49,5 ; 50,1 ]. Donc la 1re condition est atteinte. La seconde condition est si plus de 90 % des fromages ont une valeur qui appartient à l'intervalle [ x - 2σ ; x + 2σ ] qui vaut [ 47,2 ; 53,4 ]. D'après le graphique, 10 % des fromages ont moins de 47,2 % de matière grasse et 98 % ont moins de 53,4 % de matière grasse donc 98 - 10 = 88 % des fromages appartient à l'intervalle [ x - 2σ ; x + 2σ ] donc la seconde condition n'est pas atteinte. L’appellation « 50 % de matière grasse » est donc fausse.
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