Similitude/Exercices/Problèmes de constructions

Exercice 7-1

Le plan complexe ${\mathcal {P}}$ est muni d'un repère orthonormal direct $(O;{\vec {u}},\,{\vec {v}})$ . On note $A$ le point d'affixe $2$ .

Soit $\varphi :{\mathcal {P}}\to {\mathcal {P}}$ l'application qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe :

z'={\frac {3+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{4}}z+{\frac {1-\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}

.

1° Déterminez :

a) l'affixe de l'image

\varphi (A)

du point

A

;

b) l'affixe du point

P

tel que

\varphi (P)=O

.

2° Déterminez la nature et les éléments caractéristiques de $\varphi$ .

3° Lorsque $M\neq A$ et $M'=\varphi (M)$ :

a) démontrez que le triangle

AMM'

est rectangle en

M'

et précisez les angles du triangle

AMM'

;

b) le point

M

étant donné, déduisez-en une construction au compas du point

M'

.

Solution

1° a) $\varphi (A)=A$ .

b) L'affixe de

P

est

-{\frac {\frac {1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}{\frac {3+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{4}}}={\frac {2\mathrm {i} }{\sqrt {3}}}

.

2° $\varphi$ est la similitude directe de centre $A$ , de rapport $\left|{\frac {3+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{4}}\right|={\frac {\sqrt {3}}{2}}$ et d'angle $\arg {\frac {3+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{4}}=\arg {\frac {{\sqrt {3}}+\mathrm {i} }{2}}={\frac {\pi }{6}}$ .

3° a) ${\frac {AM}{AM}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}=\cos {\frac {\pi }{6}}$ et $\left({\overrightarrow {AM}},{\overrightarrow {AM'}}\right)={\frac {\pi }{6}}$ , donc $AMM'$ est rectangle en $M'$ et $\left({\overrightarrow {MM'}},{\overrightarrow {MA}}\right)={\frac {\pi }{3}}$ .

b) Soit

AMM''

équilatéral direct.

M'

est à l'intersection de

[MM'']

et du cercle de diamètre

[AM]

.

Exercice 7-2

Le plan est muni d'un repère orthonormal direct d'origine $O$ .

$r$ est un réel strictement positif.

On considère les points $A(-1,0)$ , $A'(r,0)$ et $I(0,-r)$ .

Soient ${\mathcal {C}}$ le cercle de centre $A$ et de rayon $1$ et ${\mathcal {C}}'$ le cercle de centre $A'$ et de rayon $r$ .

Déterminez le centre et le rayon du cercle ${\mathcal {C}}_{1}$ transformé du cercle ${\mathcal {C}}'$ par la similitude $s$ de centre $I$ , de rapport ${\frac {1}{\sqrt {2}}}$ et d'angle ${\frac {\pi }{4}}$ .
Dans cette question, $r<2{\sqrt {2}}$ . Construisez deux triangles isocèles $IMM'$ rectangles en $M$ , tels que $M\in {\mathcal {C}}$ et $M'\in {\mathcal {C}}'$ .

Solution

${\mathcal {C}}_{1}$ a pour centre $O$ et pour rayon ${\frac {r}{\sqrt {2}}}$ .
Il suffit de prendre pour $M$ l'un des deux points de ${\mathcal {C}}_{1}\cap {\mathcal {C}}$ et pour $M'$ , son antécédent par $s$ .

Exercice 7-3

Soient $d$ et $d'$ deux droites distinctes et $A$ un point de $d'$ extérieur à $d$ .

On se propose de construire $B\in d$ et $C\in d'$ tels que $ABC$ soit isocèle et rectangle en $B$ .

En utilisant une similitude convenable, prouvez que pour tout triangle direct $ABC$ isocèle et rectangle en $B$ , le point $B$ est sur $d$ si et seulement si $C$ est sur une droite fixe $\Delta$ .
Montrer de même que pour tout triangle indirect $ABC$ isocèle et rectangle en $B$ , le point $B$ est sur $d$ si et seulement si $C$ est sur une droite fixe $\Delta '$ .
En déduire un procédé de construction à la règle et au compas d'un triangle $ABC$ solution du problème.

Solution

Soit $s$ la similitude directe de centre $A$ , d'angle ${\frac {\pi }{4}}$ et de rapport ${\sqrt {2}}$ . Pour tout triangle direct $ABC$ isocèle et rectangle en $B$ , on a $s(B)=C$ donc $B\in d\Leftrightarrow C\in \Delta :=s(d)$ .
Idem en utilisant la similitude indirecte $s'$ de centre $A$ , d'angle $-{\frac {\pi }{4}}$ et de rapport ${\sqrt {2}}$ .
On construit facilement $\Delta$ et $\Delta '$ . Puisqu'elles sont perpendiculaires, au moins l'une des deux coupe $d'$ , en un point $C$ . On prend ensuite, selon le cas, $B=s^{-1}(C)$ ou $B=s'^{-1}(C)$ (qui se trouve sur $d$ et sur la médiatrice de $[AC]$ ).

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