Similitude/Exercices/Écriture complexe

Exercice 2-1

Ci-dessous, on donne l'écriture complexe, dans un repère orthonormal direct, d'une transformation $f$ qui à un point d'affixe $z$ associe un point d'affixe $z'$ . Reconnaissez $f$ et précisez ses éléments caractéristiques :

$z'=\mathrm {i} z{\sqrt {2}}$ ;
$z'=-2\mathrm {i} z-1$ ;
$z'=5z-3\mathrm {i}$ ;
$z'-1+2\mathrm {i} =-3z+3(1-2\mathrm {i} )$ .

Solution

$f$ est la similitude directe de rapport $k$ , d'angle $\theta$ et dont le centre a pour affixe $\omega$ , avec :

$k={\sqrt {2}}$ , $\theta ={\frac {\pi }{2}}$ , $\omega =0$ ;
$k=2$ , $\theta =-{\frac {\pi }{2}}$ , $\omega ={\frac {-1}{1+2\mathrm {i} }}={\frac {-1+2\mathrm {i} }{5}}$ ;
$k=5$ , $\theta =0$ (homothétie de rapport $5$ ), $\omega ={\frac {3\mathrm {i} }{4}}$ ;
$k=3$ , $\theta =\pi$ (homothétie de rapport $-3$ ), $\omega =1-2\mathrm {i}$ .

Exercice 2-2

Dans le plan complexe, on donne les quatre points $A$ , $B$ , $C$ et $D$ d'affixes respectives :

z_{A}=-2+6\mathrm {i}

,

z_{B}=1-3\mathrm {i}

,

z_{C}=5+5\mathrm {i}

et

z_{D}=2+4\mathrm {i}

.

1° Soit $S$ la similitude qui, à tout point d'affixe $z$ , fait correspondre le point d'affixe $z'=3\mathrm {i} z+13-9\mathrm {i}$ .

a) Donnez les éléments de cette similitude : rapport, angle et centre.

b) Quelle est l'image par

S

du point

C

? du point

D

? Montrez que les vecteurs

{\overrightarrow {CD}}

et

{\overrightarrow {S(C)S(D)}}

sont orthogonaux.

2° Soit $R$ la similitude directe déterminée par $R(B)=C$ et $R(D)=A$ .

a) Trouvez la relation liant l’affixe

z

d'un point

M

et l'affixe

z'

de son image

R(M)

.

b) Donnez les éléments de cette similitude.

Montrez que les vecteurs

{\overrightarrow {BD}}

et

{\overrightarrow {CA}}

sont orthogonaux.

c) Que représente le point

D

pour le triangle

ABC

?

Solution

1° a) $S$ est la similitude directe de rapport $3$ , d'angle ${\frac {\pi }{2}}$ et de centre le point d'affixe ${\frac {13-9\mathrm {i} }{1-3\mathrm {i} }}=4+3\mathrm {i}$ .

b)

S(C)=A

,

S(D)=B

et

({\overrightarrow {CD}},{\overrightarrow {S(C)S(D)}})={\frac {\pi }{2}}

(l'angle de la similitude).

2° a) $z'=az+b$ avec $a,b$ déterminés par $az_{B}+b=z_{C}$ et $az_{D}+b=z_{A}$ , soit $a={\frac {z_{C}-z_{A}}{z_{B}-z_{D}}}={\frac {7-\mathrm {i} }{-1-7\mathrm {i} }}=\mathrm {i}$ et $b=z_{C}-\mathrm {i} z_{B}=2+4\mathrm {i}$ .

b)

R

est la rotation d'angle

{\frac {\pi }{2}}

et de centre le point d'affixe

{\frac {2+4\mathrm {i} }{1-\mathrm {i} }}=-1+3\mathrm {i}

.

({\overrightarrow {BD}},{\overrightarrow {CA}})=({\overrightarrow {BD}},{\overrightarrow {R(B)R(D)}})={\frac {\pi }{2}}

(l'angle de la rotation).

c)

D

est l'orthocentre de

ABC

.

Exercice 2-3

$f$ est la transformation dont l'écriture complexe est :

z'=u^{2}z+u-1\qquad (u\in \mathbb {C} )

.

1° Déterminez l’ensemble des nombres complexes $u$ pour lesquels :

a)

f

est une translation ;

b)

f

est une rotation d'angle

{\frac {\pi }{2}}

;

c)

f

est une homothétie de rapport

-2

.

2° On suppose que $u=1-\mathrm {i}$ . Déterminez alors la nature de $f$ et ses éléments caractéristiques.

Solution

1° a) $u^{2}=1\Leftrightarrow u=\pm 1$ .

b)

u^{2}=\mathrm {i} \Leftrightarrow u=\pm {\frac {1+\mathrm {i} }{\sqrt {2}}}

.

c)

u^{2}=-2\Leftrightarrow u=\pm \mathrm {i} {\sqrt {2}}

.

2° $f$ est la similitude directe de rapport $2$ , d'angle $-{\frac {\pi }{2}}$ et de centre le point d'affixe ${\frac {u-1}{1-u^{2}}}=-{\frac {1}{1+u}}=-{\frac {1}{2-\mathrm {i} }}=-{\frac {2+\mathrm {i} }{5}}$ .

Exercice 2-4

Le plan est muni d'un repère orthonormé direct $(O;{\vec {i}},\,{\vec {j}})$ . On considère le point $A$ de coordonnées $(1,0)$ et le point $B$ de coordonnées $(0,1)$ .

Soit $S_{1}$ la similitude directe de centre $A$ , d'angle ${\frac {2\pi }{3}}$ et de rapport $2$ .

Soit $S_{2}$ la similitude directe de centre $B$ , d'angle ${\frac {\pi }{3}}$ et de rapport ${\frac {1}{2}}$ .

1° Donnez l'écriture complexe de $S_{1}$ , puis celle de $S_{2}$ .

2° a) Quelle est la nature de la transformation $T=S_{2}\circ S_{1}$ ?

b) Précisez son point fixe et son écriture complexe.

c) Soit

M

un point de coordonnées

(x,y)

. Exprimez les coordonnées

(x',y')

de

T(M)

en fonction de

x

et

y

.

Solution

1° L'écriture complexe de $S_{1}$ est : $s_{1}(z)=(-1+\mathrm {i} {\sqrt {3}})z+2-\mathrm {i} {\sqrt {3}}$ . Celle de $S_{2}$ est : $s_{2}(z)={\frac {1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{4}}z+{\frac {3\mathrm {i} +{\sqrt {3}}}{4}}$ .

2° a) $T$ est une rotation d'angle $\pi$ , c'est-à-dire une symétrie centrale.

b) L'écriture complexe de

T

est par conséquent

t(z)=-z+2\omega

où

\omega

est l'affixe de son point fixe, donc

\omega ={\frac {1+t(1)}{2}}

, or

t(1)=s_{2}(1)={\frac {1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{4}}+{\frac {3\mathrm {i} +{\sqrt {3}}}{4}}={\frac {1+{\sqrt {3}}+\mathrm {i} (3+{\sqrt {3}})}{4}}

, donc

\omega ={\frac {5+{\sqrt {3}}+\mathrm {i} (3+{\sqrt {3}})}{8}}

.

c)

x'=-x+{\frac {5+{\sqrt {3}}}{4}}

et

y'=-y+{\frac {3+{\sqrt {3}}}{4}}

.

Exercice 2-5

Dans le plan muni du repère orthonormal direct $(O;{\vec {u}},\,{\vec {v}})$ , on considère les points $A(3,-1)$ et $B(0,2)$ .

On désigne par :

$h$ l'homothétie de centre $A$ et de rapport $-{\sqrt {2}}$ ;
$r$ la rotation de centre $B$ et d'angle ${\frac {3\pi }{4}}$ ;
$t$ la translation de vecteur ${\overrightarrow {BO}}$ .

Construisez, après avoir donné une justification rapide, le point $\Omega$ du plan dont l'image par $t\circ r\circ h$ est l'origine $O$ .
Quelle est la nature de la transformation $t\circ r\circ h$ ? Donnez-en les éléments caractéristiques.

Solution

$(t\circ r\circ h)(\Omega )=O\Leftrightarrow (r\circ h)(\Omega )=B\Leftrightarrow h(\Omega )=B\Leftrightarrow -{\sqrt {2}}{\overrightarrow {A\Omega }}={\overrightarrow {AB}}\Leftrightarrow {\overrightarrow {O\Omega }}={\overrightarrow {OA}}-{\frac {\overrightarrow {AB}}{\sqrt {2}}}$ donc $\Omega$ a pour affixe $\omega =3-\mathrm {i} +{\frac {3}{\sqrt {2}}}\left(1-\mathrm {i} \right)$ .
$t\circ r\circ h$ est la similitude directe de rapport ${\sqrt {2}}$ et d'angle $-{\frac {\pi }{4}}$ qui envoie $\Omega$ sur $O$ . Son expression complexe est donc $z'=(1-\mathrm {i} )(z-\omega )$ . Par conséquent, l'affixe de son centre est
$-{\frac {\left(1-\mathrm {i} \right)\omega }{1-\left(1-\mathrm {i} \right)}}=\left(1+\mathrm {i} \right)\omega =4+3{\sqrt {2}}+2\mathrm {i}$ .

Exercice 2-6

On considère dans $\mathbb {C}$ l'équation :

z^{3}-\left(4+\mathrm {i} {\sqrt {3}}\right)z^{2}+\left(3+4\mathrm {i} {\sqrt {3}}\right)z-3\mathrm {i} {\sqrt {3}}=0

.

1° Montrez que cette équation admet deux solutions réelles (on les notera $\alpha$ et $\beta$ , avec $\alpha <\beta$ ) et une solution imaginaire pure, notée $\omega$ .

2° Soit $f:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ une application telle que pour tout complexe $z$ : $f(z)=az+b$ ( $a$ et $b$ complexes).

a) Déterminez

a

et

b

de telle sorte que :

f(\omega )=\omega

et

f(\alpha )=\beta

.

b) Calculez le module et l'argument de

a

.

c) Caractérisez la transformation du plan complexe qui à tout point d'affixe

z

associe le point d'affixe

f(z)

.

Solution

1° $\alpha =1$ , $\beta =3$ , $\omega =\mathrm {i} {\sqrt {3}}$ .

2° a) La solution de $a\mathrm {i} {\sqrt {3}}+b=\mathrm {i} {\sqrt {3}},\;a+b=3$ est $a={\frac {3-\omega }{1+\omega }}=-\omega =-\mathrm {i} {\sqrt {3}},\;b=3-a=3+\mathrm {i} {\sqrt {3}}$ .

b)

|a|=2{\sqrt {3}}

et

\arg a={\frac {\pi }{3}}

.

c) C'est la similitude directe de rapport

2{\sqrt {3}}

, d'angle

{\frac {\pi }{3}}

et dont le centre a pour affixe

\omega

.

Si vous souhaitez faire d'autres exercices utilisant l'écriture complexe d'une similitude, cliquez sur ce lien vers une page d'exercices de la leçon « Complexes et géométrie ».

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