Série et transformée de Fourier en physique/Série de Fourier

Dans le cas le plus courant en sciences physiques l'étude se porte sur la variation dans le temps $t$ d'une grandeur notée $y(t)$ .

Un phénomène est périodique s'il se reproduit, identique à lui-même, régulièrement dans le temps.

La période $T$ est la durée, exprimée en seconde, au bout de laquelle le phénomène se reproduit : $y(t+T)=y(t)$ .
La fréquence $f={\frac {1}{T}}$ , exprimée en hertz, est le nombre de périodes par seconde.
La pulsation ou fréquence angulaire, exprimée en radian par seconde, est indispensable pour la plupart des représentations mathématiques des phénomènes périodiques et s'exprime $\omega =2\pi f={\frac {2\pi }{T}}$ .

Théorème

Tout signal périodique de période $T$ peut se décomposer en somme infinie de signaux sinusoïdaux (harmoniques) de fréquences multiples de $1/T$ .

La formulation mathématique de ce théorème peut être déclinée sous différentes formes, plus ou moins sophistiquées, selon les besoins des domaines d'application.

Coefficients réels

Dans le domaine temporel

Si $y(t)$ est une grandeur périodique de période $T$ , et $n$ un entier alors :

{\begin{aligned}y(t)={\frac {A_{0}}{2}}&+A_{1}\cdot \cos(\omega \cdot t)+A_{2}\cdot \cos(2\cdot \omega \cdot t)+\ldots +A_{n}\cdot \cos(n\cdot \omega \cdot t)\\\ &+B_{1}\cdot \sin(\omega \cdot t)+B_{2}\cdot \sin(2\cdot \omega \cdot t)+\ldots +B_{n}\cdot \sin(n\cdot \omega \cdot t)+\ldots \end{aligned}}

ou de façon condensée :

$y(t)={\frac {A_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\left[A_{n}\cdot \cos \left(n\cdot \omega \cdot t\right)+B_{n}\cdot \sin \left(n\cdot \omega \cdot t\right)\right]}$ ,

ou

$y(t)={\frac {A_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }{C_{n}\cdot \cos \left(n\cdot \omega \cdot t+\varphi _{n}\right)}$

Les coefficients sont définis par les relations suivantes, quel que soit $t_{0}$ :

$A_{n}={\frac {2}{T}}\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}y(t)\cdot \cos(n\cdot \omega \cdot t)\cdot \mathrm {d} t$ ,

$B_{n}={\frac {2}{T}}\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}y(t)\cdot \sin(n\cdot \omega \cdot t)\cdot \mathrm {d} t$ ,

$C_{n}={\sqrt {A_{n}^{2}+B_{n}^{2}}}$ ,

$\varphi _{n}=-\arctan {\frac {B_{n}}{A_{n}}}$ .

Détails supplémentaires

C_{n}\cdot \cos \left(n\cdot \omega \cdot t+\varphi _{n}\right)=C_{n}\cdot \left[\cos \left(n\cdot \omega \cdot t\right)\cdot \cos \varphi _{n}-\sin \left(n\cdot \omega \cdot t\right)\cdot \sin \varphi _{n}\right]

{\begin{cases}A_{n}=C_{n}\cdot \cos \varphi _{n}\\B_{n}=-C_{n}\cdot \sin \varphi _{n}\end{cases}}

{\begin{cases}A_{n}^{2}+B_{n}^{2}=C_{n}^{2}\\{\frac {B_{n}}{A_{n}}}={\frac {-C_{n}\cdot \sin \varphi _{n}}{C_{n}\cdot \cos \varphi _{n}}}=-\tan \varphi _{n}\end{cases}}

Remarques

On peut observer que ${\frac {A_{0}}{2}}={\frac {1}{T}}\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}y(t)\cdot \mathrm {d} t=\left\langle y(t)\right\rangle$ représente la composante continue ou valeur moyenne de la grandeur $y$ ;
La fonction $y_{n}(t)=C_{n}\cdot \cos(n\cdot \omega \cdot t+\varphi _{n})$ est nommée harmonique de rang $n$ ;
L'harmonique de rang 1 est nommé fondamental ;
$C_{n}$ représente l'amplitude de l'harmonique de rang $n$ ;
$\varphi _{n}$ est la phase à l'origine de l’harmonique de rang $n$ .
Si $y(t)$ est une fonction paire, $y(-t)=y(t)$ , alors $\forall n$ , $B_{n}=0$ .
Si $y(t)$ est une fonction impaire, $y(-t)=-y(t)$ , alors $\forall n$ , $A_{n}=0$ .

Dans le domaine des angles

On peut aisément transposer les formules précédentes afin de manipuler directement des angles. En effet, pour un signal sinusoïdal de pulsation $\omega$ et de période $T$ ,sachant que $2\pi =\omega T$ , on applique le changement de variable $\theta =\omega t$ . Les relations précédentes se transforment de la façon suivante.

$y(\theta )={\frac {A_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\left[A_{n}\cdot \cos \left(n\cdot \theta \right)+B_{n}\cdot \sin \left(n\cdot \theta \right)\right]}$ ,

avec, et quel que soit $\alpha _{0}$ ,

$A_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{\alpha _{0}}^{\alpha _{0}+2\pi }y(\theta )\cdot \cos(n\cdot \theta )\cdot \mathrm {d} \theta$ ,

$B_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{\alpha _{0}}^{\alpha _{0}+2\pi }y(\theta )\cdot \sin(n\cdot \theta )\cdot \mathrm {d} \theta$ .

Coefficients complexes

En utilisant les formules d'Euler, il est possible de définir des coefficients complexes qui sont, dans de nombreux cas, bien plus faciles à calculer.

$y(\theta )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{D_{n}\cdot e^{\mathrm {j} n\theta }}$ ,

avec, et quel que soit $\alpha _{0}$ ,

$D_{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{\alpha _{0}}^{\alpha _{0}+2\pi }y(\theta )\cdot \mathrm {e} ^{-\mathrm {j} n\theta }\cdot \mathrm {d} \theta$ .

Relation entre coefficients réels et coefficients complexes : démonstration.

Partant de l’expression de $y(\theta )$ périodique de période $2\pi$ ,

y(\theta )={\frac {A_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\left[A_{n}\cdot \cos \left(n\cdot \theta \right)+B_{n}\cdot \sin \left(n\cdot \theta \right)\right]}

,

et en exprimant, à l'aide des formules d'Euler,

\cos(n\cdot \theta )={\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {j} n\theta }+e^{-\mathrm {j} n\theta }}{2}}

,

\sin(n\cdot \theta )={\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {j} n\theta }-e^{-\mathrm {j} n\theta }}{2\cdot \mathrm {j} }}

,

il vient :

y(t)={\frac {A_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\left[A_{n}\cdot {\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {j} n\theta }+e^{-\mathrm {j} n\theta }}{2}}+B_{n}\cdot {\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {j} n\theta }-e^{-\mathrm {j} n\theta }}{2\cdot \mathrm {j} }}\right]}

,

y(t)={\frac {A_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }{{\frac {A_{n}-\mathrm {j} \cdot B_{n}}{2}}\cdot e^{\mathrm {j} n\theta }}+\sum _{n=1}^{\infty }{{\frac {A_{n}+\mathrm {j} \cdot B_{n}}{2}}\cdot e^{-\mathrm {j} n\theta }}

,

y(t)={\frac {A_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }{{\frac {A_{n}-\mathrm {j} \cdot B_{n}}{2}}\cdot e^{\mathrm {j} n\theta }}+\sum _{n=-1}^{-\infty }{{\frac {A_{-n}+\mathrm {j} \cdot B_{-n}}{2}}\cdot e^{\mathrm {j} n\theta }}

.

Or d'après les définitions des $A_{n}$ et $B_{n}$ : $A_{-n}=A_{n}$ et $B_{-n}=-B_{n}$ , d'où :

y(t)={\frac {A_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }{{\frac {A_{n}-\mathrm {j} \cdot B_{n}}{2}}\cdot e^{\mathrm {j} n\theta }}+\sum _{n=-1}^{-\infty }{{\frac {A_{n}-\mathrm {j} \cdot B_{n}}{2}}\cdot e^{\mathrm {j} n\theta }}

.

En observant que $B_{0}=0$ , on peut poser : $D_{n}={\frac {A_{n}-\mathrm {j} \cdot B_{n}}{2}}$ . $y(\theta )$ peut alors s'exprimer :

y(\theta )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{D_{n}\cdot e^{\mathrm {j} n\theta }}

.

Pour exprimer les coefficients $D_{n}$ , on remplace les coefficients $A_{n}$ et $B_{n}$ par leur expression.

D_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{\alpha _{0}}^{\alpha _{0}+2\pi }f(\theta )\cdot {\frac {\cos(n\cdot \theta )-\mathrm {j} \cdot \sin(n\cdot \theta )}{2}}\cdot \mathrm {d} \theta

D_{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{\alpha _{0}}^{\alpha _{0}+2\pi }f(\theta )\cdot \mathrm {e} ^{-\mathrm {j} n\theta }\cdot \mathrm {d} \theta

Remarques

Le module de $D_{n}$ correspond à l'amplitude, et son argument correspond à la phase à l'origine de l'harmonique de rang $n$ :

|D_{n}|={\frac {\sqrt {A_{n}^{2}+B_{n}^{2}}}{2}}={\frac {C_{n}}{2}}

;

\mathrm {arg} (D_{n})=\tan {\frac {-B_{n}}{A_{n}}}=\varphi _{n}

.

$D_{0}={\frac {1}{2\pi }}\int _{\alpha _{0}}^{\alpha _{0}+2\pi }y(\theta )\cdot \mathrm {d} \theta =\left\langle y(\theta )\right\rangle$ représente la composante continue ou valeur moyenne de la grandeur $y$ .

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