Série et transformée de Fourier en physique/Comparaison des différents développements

Nous nous proposons d'étudier une fonction simple, une sinusoïde dotée d'une composante continue, afin de comprendre et d'interpréter les résultats obtenus lors du développement en séries de Fourier selon plusieurs méthodes.

Soit une fonction $y(t)=y(\theta )=Y_{0}+{\widehat {Y}}_{1}\cdot \cos(\omega _{1}\cdot t)=Y_{0}+{\widehat {Y}}_{1}\cdot \cos(\theta )$ .

Développement en série de Fourier

Coefficients réels ; fonction réelle

$A_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{\alpha _{0}}^{\alpha _{0}+2\pi }y(\theta )\cdot \cos(n\cdot \theta )\cdot \mathrm {d} \theta ={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{2\pi }\left[Y_{0}+{\widehat {Y}}_{1}\cos(\theta )\right]\cdot \cos(n\cdot \theta )\cdot \mathrm {d} \theta$

Il est assez évident que $A_{0}=2\cdot Y_{0}\ ;\ A_{1}={\widehat {Y}}_{1}\ ;\ A_{n}=0\ \ \forall n\geqslant 2$ , mais la démonstration est développée ci-dessous.

Détails des calculs

$\forall n$ , $B_{n}=0$
Calcul de $A_{0}$

A_{0}={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{2\pi }\left[Y_{0}+{\widehat {Y}}_{1}\cos(\theta )\right]\cdot \mathrm {d} \theta ={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{2\pi }Y_{0}\cdot \mathrm {d} \theta +{\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{2\pi }{\widehat {Y}}_{1}\cos(\theta )\cdot \mathrm {d} \theta =2\cdot Y_{0}

Calcul de $A_{1}$

A_{1}={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{2\pi }\left[Y_{0}+{\widehat {Y}}_{1}\cos \theta \right]\cdot \cos \theta \cdot \mathrm {d} \theta ={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{2\pi }Y_{0}\cdot \cos \theta \cdot \mathrm {d} \theta +{\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{2\pi }{\widehat {Y}}_{1}\cos ^{2}\theta \cdot \mathrm {d} \theta =0+{\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{2\pi }{\frac {{\widehat {Y}}_{1}}{2}}\left(1+\cos(2\theta )\right)\cdot \mathrm {d} \theta

A_{1}=0+{\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{2\pi }{\frac {{\widehat {Y}}_{1}}{2}}\left(1+\cos(2\theta )\right)\cdot \mathrm {d} \theta ={\widehat {Y}}_{1}

Calcul de $A_{n}$

A_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{2\pi }Y_{0}\cdot \cos(n\cdot \theta )\cdot \mathrm {d} \theta ++{\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{2\pi }{\widehat {Y}}_{1}\cdot \cos(\theta )\cdot \cos(n\cdot \theta )\cdot \mathrm {d} \theta

A_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{2\pi }Y_{0}\cdot \cos(n\cdot \theta )\cdot \mathrm {d} \theta ++{\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{2\pi }{\widehat {Y}}_{1}\left[\cos \left(\left(n+1\right)\cdot \theta \right)+\cos \left(\left(n-1\right)\cdot \theta \right)\right]\cdot \mathrm {d} \theta

\int _{0}^{2\pi }\cos \left(\left(n+1\right)\cdot \theta \right)\cdot \mathrm {d} \theta =0\quad \forall n\geqslant 0

\int _{0}^{2\pi }\cos(n\cdot \theta )\cdot \mathrm {d} \theta =0\quad \forall n\geqslant 1

\int _{0}^{2\pi }\cos \left(\left(n-1\right)\cdot \theta \right)\cdot \mathrm {d} \theta =0\quad \forall n\geqslant 2

A_{n}=0\quad \forall n\geqslant 2

Calcul de $B_{n}$

B_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{\alpha _{0}}^{\alpha _{0}+2\pi }y(\theta )\cdot \sin(n\cdot \theta )\cdot \mathrm {d} \theta

B_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{2\pi }\cos(\theta )\cdot \sin(n\cdot \theta )\cdot \mathrm {d} \theta

B_{n}={\frac {1}{\pi }}\left[{\frac {1}{n+1}}\cdot \sin \left(\left(n+1\right)\cdot \theta \right)\right]=0

Coefficients complexes ; fonction réelle

$D_{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }y(\theta )\cdot \mathrm {e} ^{-\mathrm {j} n\theta }\cdot \mathrm {d} \theta ={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\left[Y_{0}+{\widehat {Y}}_{1}\cos \theta \right]\cdot \mathrm {e} ^{-\mathrm {j} n\theta }\cdot \mathrm {d} \theta$

Dans ce cas la valeur des coefficients, $D_{-1}={\frac {{\widehat {Y}}_{1}}{2}}\ ;\ D_{0}=Y_{0}\ ;\ D_{1}={\frac {{\widehat {Y}}_{1}}{2}}\ ;\ D_{n}=0\ \ {\text{si }}|n|\geqslant 2$ , aboutissent à l'expression à peine moins évidente :

$y(\theta )={\frac {{\widehat {Y}}_{1}}{2}}\cdot \mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .\theta }+Y_{0}+{\frac {{\widehat {Y}}_{1}}{2}}\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {j} .\theta }$ .

Détails des calculs

Calcul de $D_{n}$

D_{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }Y_{0}\cdot \mathrm {e} ^{-\mathrm {j} n\theta }\cdot \mathrm {d} \theta +{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }{\widehat {Y}}_{1}\cdot \cos \theta \cdot \mathrm {e} ^{-\mathrm {j} n\theta }\cdot \mathrm {d} \theta

D_{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }Y_{0}\cdot \mathrm {e} ^{-\mathrm {j} n\theta }\cdot \mathrm {d} \theta +{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }{\widehat {Y}}_{1}\cdot \left({\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {j} \theta }+\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} \theta }}{2}}\right)\cdot \mathrm {e} ^{-\mathrm {j} n\theta }\cdot \mathrm {d} \theta

D_{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }Y_{0}\cdot \mathrm {e} ^{-\mathrm {j} n\theta }\cdot \mathrm {d} \theta +{\frac {{\widehat {Y}}_{1}}{4\pi }}\int _{0}^{2\pi }\left(\mathrm {e} ^{\mathrm {-} j(n-1)\theta }+\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} (n+1)\theta }\right)\cdot \mathrm {d} \theta

Calcul de $D_{0}$

D_{0}={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }Y_{0}\cdot \mathrm {d} \theta +{\frac {{\widehat {Y}}_{1}}{4\pi }}\int _{0}^{2\pi }\left(\mathrm {e} ^{\mathrm {j} \theta }+\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} \theta }\right)\cdot \mathrm {d} \theta =Y_{0}

Calcul de $D_{1}$

D_{1}={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }Y_{0}\cdot \mathrm {e} ^{-\mathrm {j} \theta }\cdot \mathrm {d} \theta +{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }{\widehat {Y}}_{1}\cdot \left({\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {j} \theta }+\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} \theta }}{2}}\right)\cdot \mathrm {e} ^{-\mathrm {j} \theta }\cdot \mathrm {d} \theta

D_{1}=0+{\frac {{\widehat {Y}}_{1}}{4\pi }}\int _{0}^{2\pi }\cdot \left(1+\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} 2\theta }\right)\cdot \mathrm {d} \theta ={\frac {{\widehat {Y}}_{1}}{2}}

Calcul de $D_{-1}$

D_{-1}={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }Y_{0}\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {j} \theta }\cdot \mathrm {d} \theta +{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }{\widehat {Y}}_{1}\cdot \left({\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {j} \theta }+\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} \theta }}{2}}\right)\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {j} \theta }\cdot \mathrm {d} \theta

D_{-1}=0+{\frac {{\widehat {Y}}_{1}}{4\pi }}\int _{0}^{2\pi }\cdot \left(\mathrm {e} ^{+\mathrm {j} 2\theta }+1\right)\cdot \mathrm {d} \theta ={\frac {{\widehat {Y}}_{1}}{2}}

Coefficients complexes ; fonction complexe

Il est très fréquent pour simplifier les calculs de remplacer la fonction $\cos \theta$ par la formule d'Euler: i.e. fonction $\mathrm {e} ^{\mathrm {j} \theta }=\cos \theta +\mathrm {j} \cdot \sin \theta$ car il suffit in fine de ne s'intéresser qu'à la partie réelle de la fonction $y(\theta )$ . Comme l'illustre l'exemple étudié ici, il faut prendre garde à exprimer la fonction de la façon suivante : $y(\theta )=Y_{0}+Y_{1}\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {j} .\theta }$ , où avec $Y_{1}={\frac {{\widehat {Y}}_{1}}{\sqrt {2}}}$ $\ D_{0}=Y_{0}\ ;\ D_{1}={Y}_{1}={\frac {{\widehat {Y}}_{1}}{\sqrt {2}}}$ .

Comparaison des trois développements

On peut constater que les deux développements ne donnent pas des résultats similaires. Pour les comparer, nous nous proposons de calculer la puissance du signal ainsi que sa valeur efficace et d'y percevoir l'influence de chacune des harmoniques.

On définit la puissance moyenne comme la moyenne quadratique du signal : elle peut être calculée sur une période.

P_{yy}={1 \over {T}}\cdot \int _{0}^{T}y(t)\cdot y^{*}(t)\cdot \mathrm {d} t={1 \over {T}}\cdot \int _{0}^{T}|y(t)|^{2}\cdot \mathrm {d} t={1 \over {2\pi }}\cdot \int _{0}^{2\pi }y(\theta )\cdot y^{*}(\theta )\cdot \mathrm {d} \theta

.

P_{yy}={1 \over {2\pi }}\cdot \int _{0}^{2\pi }y(\theta )\cdot y^{*}(\theta )\cdot \mathrm {d} \theta ={1 \over {2\pi }}\cdot \int _{0}^{2\pi }|y(\theta )|^{2}\cdot \mathrm {d} \theta

.

La valeur efficace $Y$ est la racine carrée de la moyenne quadratique, alors $Y={\sqrt {P_{yy}}}$ . Il est à noter que les puissances des différentes harmoniques s'ajoutent tandis qu'il est nécessaire d'élever au carré les valeurs efficaces avant de les ajouter.

	Coefficients réels ; fonction réelle	Coefficients complexes ; fonction réelle	Coefficients complexes ; fonction complexe
Développement en série de Fourier	$y(\theta )=Y_{0}+{\widehat {Y}}_{1}\cdot \cos(\theta )$	$y(\theta )={\frac {{\widehat {Y}}_{1}}{2}}\cdot \mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .\theta }+Y_{0}+{\frac {{\widehat {Y}}_{1}}{2}}\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {j} .\theta }$	$y(\theta )=Y_{0}+Y_{1}\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {j} .\theta }$
Puissance moyenne	$P_{yy}=Y_{0}^{2}+{\frac {{\widehat {Y}}_{1}^{2}}{2}}$	$P_{yy}={\frac {{\widehat {Y}}_{1}^{2}}{4}}+Y_{0}^{2}+{\frac {{\widehat {Y}}_{1}^{2}}{4}}$	$P_{yy}=Y_{0}^{2}+{{Y}_{1}^{2}}=Y_{0}^{2}+{\frac {{\widehat {Y}}_{1}^{2}}{2}}$
Spectre de puissance
Valeur efficace	$Y^{2}=Y_{0}^{2}+\left({\frac {{\widehat {Y}}_{1}}{\sqrt {2}}}\right)^{2}$	$Y^{2}=\left({\frac {{\widehat {Y}}_{1}}{2}}\right)^{2}+Y_{0}^{2}+\left({\frac {{\widehat {Y}}_{1}}{2}}\right)^{2}$	$Y^{2}=Y_{0}^{2}+{{Y}_{1}^{2}}$
Spectre d'amplitude (valeurs efficaces)
Remarques	Les coefficients représentent les valeurs maximales des harmoniques. Le coefficient $A_{0}$ est à traiter différemment. $A_{0}=2\cdot Y_{0}\ ;\ A_{1}={\widehat {Y}}_{1}$	Les coefficients représentent les valeurs efficaces des harmoniques. C'est aussi valable pour le coefficient $D_{0}$ . Les calculs font apparaître des fréquences négatives qui n'ont pas de sens physique. Il est toutefois nécessaire de tenir compte de leur influence et d'ajouter la puissance de l'harmonique et de l'harmonique symétrique quand elle est présente. $D_{-1}={\frac {{\widehat {Y}}_{1}}{2}}\ ;\ D_{0}=Y_{0}\ ;\ D_{1}={\frac {{\widehat {Y}}_{1}}{2}}$	La notation complexe $e^{\mathrm {j} .\theta }$ pour la fonction à transformer doit être précédée de la valeur efficace. Les coefficients représentent alors, comme dans le cas précédent, les valeurs efficaces. $\ D_{0}=Y_{0}\ ;\ D_{1}={Y}_{1}={\frac {{\widehat {Y}}_{1}}{\sqrt {2}}}$

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