1°   Si ${\displaystyle y=f^{n}(x){\text{ ou }}x=f^{n}(y)}$ alors ${\displaystyle f^{p}(x)=f^{q}(y)}$, pour ${\displaystyle (p,q)=(n,0){\text{ ou }}(0,n)}$.

Réciproquement, si ${\displaystyle f^{p}(x)=f^{q}(y)}$ avec ${\displaystyle p,q\in \mathbb {N} }$ :

• si ${\displaystyle q\leq p}$, alors ${\displaystyle f^{p-q}(x)=y}$ (par injectivité de ${\displaystyle f^{q}}$) ;
• de même, si ${\displaystyle q\leq p}$ alors ${\displaystyle f^{q-p}(y)=x}$.

Dans les deux cas, ${\displaystyle x{\mathcal {R}}y}$.

2°   La réflexivité et la symétrie de ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ étant immédiates (par définition de ${\displaystyle f^{0}}$ et de ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$), démontrons la transitivité, grâce à la question précédente. Supposons donc ${\displaystyle x{\mathcal {R}}y}$ et ${\displaystyle y{\mathcal {R}}z}$. Il existe alors ${\displaystyle p,q,r,s\in \mathbb {N} }$ tels que ${\displaystyle f^{p}(x)=f^{q}(y)}$ et ${\displaystyle f^{r}(y)=f^{s}(z)}$, d'où ${\displaystyle f^{p+r}(x)=f^{q+r}(y)=f^{q+s}(z)}$ et donc ${\displaystyle x{\mathcal {R}}z}$.

3°  a)  Pour tout ${\displaystyle x\in A}$, puisque ${\displaystyle f(x){\mathcal {R}}x}$, on a ${\displaystyle x\in C\Leftrightarrow f(x)\in C\Leftrightarrow f(x)\in C\cap \operatorname {Im} (f)}$.

b)   Si ${\displaystyle a\in C\setminus f(C)}$ alors (par définition de ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ et puisque ${\displaystyle a\notin \operatorname {Im} (f)}$) ${\displaystyle \forall x\in A\quad x\in C\Leftrightarrow x{\mathcal {R}}a\Leftrightarrow \exists n\in \mathbb {N} \quad x=f^{n}(a)}$, donc ${\displaystyle a}$ est l'unique élément de ${\displaystyle C\setminus \operatorname {Im} (f)=C\setminus f(C)}$.

4°  Soit ${\displaystyle X}$ une telle partie, montrons que ${\displaystyle X=\cup _{x\in X}{\overline {x}}}$, où ${\displaystyle {\overline {x}}}$ désigne la classe d'équivalence de ${\displaystyle x}$. Autrement dit : pour tout ${\displaystyle x\in X}$, montrons que ${\displaystyle {\overline {x}}\subset X}$, c'est-à-dire que ${\displaystyle y{\mathcal {R}}x\Rightarrow y\in X}$. Si ${\displaystyle y=f^{n}(x)}$ (pour un certain ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$), on a bien sûr ${\displaystyle y\in f^{n}(X)=X}$. Mais si ${\displaystyle x=f^{n}(y)}$, on a aussi ${\displaystyle y\in \left(f^{n}\right)^{-1}(X)=X}$ (car ${\displaystyle f^{-1}(X)}$ est égal à ${\displaystyle f^{-1}(f(X))}$ par hypothèse, c'est-à-dire — par injectivité de ${\displaystyle f}$ — à ${\displaystyle X}$).

5°  a)  ${\displaystyle f}$ envoie injectivement ${\displaystyle \mathbb {Z} \setminus \mathbb {N} }$ sur ${\displaystyle A=\{\dots ,-2,-1,0,1\}}$ et ${\displaystyle \mathbb {N} }$ sur ${\displaystyle B=\{4,5,6,\dots \}}$. Comme ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle B}$ sont disjoints, ${\displaystyle f}$ est injective.

b)  ${\displaystyle \operatorname {Im} (f)=A\cup B=\mathbb {Z} \setminus \{2,3\}}$.

c)  Il y a quatre classes : ${\displaystyle {\overline {2}}=2+4\mathbb {N} }$, ${\displaystyle {\overline {3}}=3+4\mathbb {N} }$, ${\displaystyle {\overline {0}}=4\mathbb {N} \cup -2\mathbb {N} }$ et ${\displaystyle {\overline {1}}=1+{\overline {0}}}$.