Selon nos notations, nous avons :

${\displaystyle a=5,\qquad b=-9,\qquad c=-3,\qquad d=9}$.

La résolvante de Sotta est :

${\displaystyle {\begin{aligned}R(X)&=(b^{2}-3ac)X^{2}+(bc-9ad)X+(c^{2}-3bd)\\&=((-9)^{2}-3\times 5\times (-3))X^{2}+(-9\times (-3)-9\times 5\times 9)X+((-3)^{2}-3\times (-9)\times 9)\\&=126X^{2}-378X+252\\&=126(X^{2}-3X+2)\\&=126(X-2)(X-1).\end{aligned}}}$

Les deux racines de R sont

${\displaystyle \alpha =2,\quad \beta =1}$.

${\displaystyle {\frac {b+3\alpha a}{b+3\beta a}}={\frac {-9+3\alpha a}{-9+3\beta a}}={\frac {-3+\alpha a}{-3+\beta a}}={\frac {7}{2}}}$.

Les trois racines de l'équation à résoudre sont donc :

${\displaystyle x_{k}={\frac {\alpha -\beta \mathrm {j} ^{k}{\sqrt[{3}]{7/2}}}{1-\mathrm {j} ^{k}{\sqrt[{3}]{7/2}}}}={\frac {2{\sqrt[{3}]{2}}-\mathrm {j} ^{k}{\sqrt[{3}]{7}}}{{\sqrt[{3}]{2}}-\mathrm {j} ^{k}{\sqrt[{3}]{7}}}},\quad k\in \{0,1,2\}}$.

Selon nos notations, nous avons :

${\displaystyle a=1,\qquad b=-1,\qquad c=-1,\qquad d=-2}$.

La résolvante de Sotta est :

${\displaystyle {\begin{aligned}R(X)&=(b^{2}-3ac)X^{2}+(bc-9ad)X+(c^{2}-3bd)\\&=((-1)^{2}-3\times 1\times (-1))X^{2}+((-1)\times (-1)-9\times 1\times (-2))X+((-1)^{2}-3\times (-1)\times (-2))\\&=4X^{2}+19X-5\\&=(X+5)(4X-1).\end{aligned}}}$

Les deux racines de R sont

${\displaystyle \alpha =-5,\quad \beta ={\frac {1}{4}}}$.

${\displaystyle {\frac {b+3\alpha a}{b+3\beta a}}={\frac {-1+3\times -5}{-1+3\times {\frac {1}{4}}}}=4^{3}}$.

Les trois racines de l'équation à résoudre sont donc :

${\displaystyle x_{k}={\frac {\alpha -4\beta \mathrm {j} ^{k}}{1-4\mathrm {j} ^{k}}}={\frac {-5-\mathrm {j} ^{k}}{1-4\mathrm {j} ^{k}}},\quad k\in \{0,1,2\}}$,

soit ${\displaystyle x_{0}=2,\quad x_{1}=\mathrm {j} ^{2},\quad x_{2}=\mathrm {j} }$.

Selon nos notations, nous avons :

${\displaystyle a=1,\qquad b=-6,\qquad c=5,\qquad d=-1}$.

La résolvante de Sotta est :

${\displaystyle {\begin{aligned}R(X)&=(b^{2}-3ac)X^{2}+(bc-9ad)X+(c^{2}-3bd)\\&=((-6)^{2}-3\times 1\times 5)X^{2}+((-6)\times 5-9\times 1\times (-1))X+(5^{2}-3\times (-6)\times (-1))\\&=21X^{2}-21X+7\\&=7(3X^{2}-3X+1)\\&=(X+5)(4X-1).\end{aligned}}}$

Les deux racines de R sont

${\displaystyle \alpha ={\frac {3+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{6}},\quad \beta ={\frac {3-\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{6}}}$.

${\displaystyle {\frac {b+3\alpha a}{b+3\beta a}}={\frac {-6+{\frac {3+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}}{-6+{\frac {3-\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}}}={\frac {9-\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{9+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}}}$.

Les trois racines de l'équation que l’on s'était donné de résoudre sont donc :

${\displaystyle x_{k}={\frac {\alpha -\beta \mathrm {j} ^{k}{\sqrt[{3}]{\frac {9-\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{9+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}}}}{1-\mathrm {j} ^{k}{\sqrt[{3}]{\frac {9-\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{9+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}}}}}={\frac {(3+\mathrm {i} {\sqrt {3}}){\sqrt[{3}]{9+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}}-(3-\mathrm {i} {\sqrt {3}})\mathrm {j} ^{k}{\sqrt[{3}]{9-\mathrm {i} {\sqrt {3}}}}}{6\left({\sqrt[{3}]{9+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}}-\mathrm {j} ^{k}{\sqrt[{3}]{9-\mathrm {i} {\sqrt {3}}}}\right)}},\quad k\in \{0,1,2\}}$.

Calculons une valeur approchée des trois racines trouvées. Nous obtenons :

${\displaystyle x_{0}\approx 5{,}049,\quad x_{2}\approx 0{,}643,\quad x_{3}\approx 0{,}308}$.

α) L'équation :

${\displaystyle {\frac {4x^{2}}{3}}={\frac {{\sqrt {3}}-6x}{2x-{\sqrt {27}}}}}$

se met sous la forme :

${\displaystyle 8x^{3}-12x^{2}{\sqrt {3}}+18x-3{\sqrt {3}}=0}$.

On a :

${\displaystyle a=8,\qquad b=-12{\sqrt {3}},\qquad c=18,\qquad d=-3{\sqrt {3}}}$.

La résolvante de Sotta est :

${\displaystyle {\begin{aligned}R(X)&=(b^{2}-3ac)X^{2}+(bc-9ad)X+(c^{2}-3bd)\\&=((-12{\sqrt {3}})^{2}-3\times 8\times 18)X^{2}+(-12{\sqrt {3}}\times 18-9\times 8\times (-3{\sqrt {3}}))X+(18^{2}-3(-12{\sqrt {3}})(-3{\sqrt {3}}))\\&=0X^{2}+0X+0.\end{aligned}}}$

Nous en déduisons que l'équation à résoudre admet une racine triple.

Comme la somme des racines est égale à :

${\displaystyle -{\frac {b}{a}}=-{\frac {-12{\sqrt {3}}}{8}}={\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}}$,

la racine triple est le tiers de cette valeur et l'on a donc :

${\displaystyle x_{0}=x_{1}=x_{2}={\frac {\sqrt {3}}{2}}}$.

β) L'équation :

${\displaystyle x^{3}-5x^{2}+x-1=4x{\sqrt {2}}}$

se met sous la forme :

${\displaystyle x^{3}-5x^{2}+(1-4{\sqrt {2}})x-1=0}$.

On a :

${\displaystyle a=1,\qquad b=-5,\qquad c=1-4{\sqrt {2}},\qquad d=-1}$.

La résolvante de Sotta est :

${\displaystyle {\begin{aligned}R(X)&=(b^{2}-3ac)X^{2}+(bc-9ad)X+(c^{2}-3bd)\\&=((-5)^{2}-3\times 1\times (1-4{\sqrt {2}}))X^{2}+(-5\times (1-4{\sqrt {2}})-9\times 1\times (-1))X+((1-4{\sqrt {2}})^{2}-3(-5)(-1))\\&=(22+12{\sqrt {2}})X^{2}+(4+20{\sqrt {2}})X+(18-8{\sqrt {2}})\\&=2\left[(11+6{\sqrt {2}})X^{2}+(2+10{\sqrt {2}})X+(9-4{\sqrt {2}})\right].\end{aligned}}}$

Le discriminant étant nul, la résolvante admet une racine double :

${\displaystyle -{\frac {2+10{\sqrt {2}}}{2(11+6{\sqrt {2}})}}=1-{\sqrt {2}}}$

et par conséquent, l'équation à résoudre admet la même racine double.

Comme la somme des racines est égale à :

${\displaystyle -{\frac {b}{a}}=-{\frac {-5}{1}}=5}$,

la troisième racine est donc :

${\displaystyle 5-2(1-{\sqrt {2}})=3+2{\sqrt {2}}}$.

En définitive, les trois racines de l'équation à résoudre sont :

${\displaystyle x_{0}=x_{1}=1-{\sqrt {2}},\quad x_{2}=3+2{\sqrt {2}}}$.

Selon nos notations, nous avons :

${\displaystyle a=8,\quad b=c=-4,\quad d=1}$.

La résolvante de Sotta est :

${\displaystyle {\begin{aligned}R(X)&=(b^{2}-3ac)X^{2}+(bc-9ad)X+(c^{2}-3bd)\\&=((-4)^{2}-3\times 8\times (-4))X^{2}+((-4)\times (-4)-9\times 8\times 1)X+((-4)^{2}-3\times (-4)\times 1)\\&=4(28X^{2}-14X+7)\\&=28(4X^{2}-2X+1).\end{aligned}}}$

Les deux racines de R sont :

${\displaystyle \alpha ={\frac {1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{4}},\quad \beta ={\frac {1-\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{4}}}$.

${\displaystyle {\frac {b+3\alpha a}{b+3\beta a}}={\frac {-4+6(1+\mathrm {i} {\sqrt {3}})}{-4+6(1-\mathrm {i} {\sqrt {3}})}}={\frac {1+3\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{1-3\mathrm {i} {\sqrt {3}}}}}$.

Les trois racines de l'équation que l’on s'était donné de résoudre sont donc :

${\displaystyle x_{k}={\frac {\alpha {\sqrt[{3}]{1-3\mathrm {i} {\sqrt {3}}}}-\mathrm {j} ^{k}\beta {\sqrt[{3}]{1+3\mathrm {i} {\sqrt {3}}}}}{{\sqrt[{3}]{1-3\mathrm {i} {\sqrt {3}}}}-\mathrm {j} ^{k}{\sqrt[{3}]{1+3\mathrm {i} {\sqrt {3}}}}}}={\frac {(1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}){\sqrt[{3}]{1-3\mathrm {i} {\sqrt {3}}}}-\mathrm {j} ^{k}(1-\mathrm {i} {\sqrt {3}}){\sqrt[{3}]{1+3\mathrm {i} {\sqrt {3}}}}}{4\left({\sqrt[{3}]{1-3\mathrm {i} {\sqrt {3}}}}-\mathrm {j} ^{k}{\sqrt[{3}]{1+3\mathrm {i} {\sqrt {3}}}}\right)}},\quad k\in \{-1,0,1\}}$.

${\displaystyle x_{k}={\frac {\sin {\frac {\theta +(k-1)\pi }{3}}}{2\sin {\frac {\theta +k\pi }{3}}}}}$ avec ${\displaystyle \theta =\arctan(3{\sqrt {3}})\in \left]0,\pi /2\right[}$

donc

${\displaystyle x_{1},x_{-1}>0}$ et ${\displaystyle x_{0}<0}$. Par conséquent, c'est ${\displaystyle x_{0}}$ qui vaut cos(5π/7). On a donc bien la formule annoncée.

Selon nos notations, nous avons :

${\displaystyle a=8,\quad b=0,\quad c=-6,\quad d=-1}$.

La résolvante de Sotta est :

${\displaystyle {\begin{aligned}R(X)&=(b^{2}-3ac)X^{2}+(bc-9ad)X+(c^{2}-3bd)\\&=(-3\times 8\times (-6))X^{2}+(-9\times 8\times (-1))X+(-6)^{2}\\&=36(4X^{2}+2X+1).\end{aligned}}}$

Les deux racines de R sont :

${\displaystyle \alpha ={\frac {-1-\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{4}},\quad \beta ={\frac {-1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{4}}}$.

${\displaystyle {\frac {b+3\alpha a}{b+3\beta a}}={\frac {\alpha }{\beta }}={\frac {1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{1-\mathrm {i} {\sqrt {3}}}}}$.

Les trois racines de l'équation que l’on s'était donné de résoudre sont donc :

${\displaystyle x_{k}={\frac {\alpha {\sqrt[{3}]{1-\mathrm {i} {\sqrt {3}}}}-\mathrm {j} ^{k}\beta {\sqrt[{3}]{1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}}}{{\sqrt[{3}]{1-\mathrm {i} {\sqrt {3}}}}-\mathrm {j} ^{k}{\sqrt[{3}]{1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}}}}={\frac {(1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}){\sqrt[{3}]{1-\mathrm {i} {\sqrt {3}}}}-\mathrm {j} ^{k}(1-\mathrm {i} {\sqrt {3}}){\sqrt[{3}]{1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}}}{-4\left({\sqrt[{3}]{1-\mathrm {i} {\sqrt {3}}}}-\mathrm {j} ^{k}{\sqrt[{3}]{1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}}\right)}},\quad k\in \{-1,0,1\}}$.

${\displaystyle x_{k}={\frac {\sin {\frac {(2-3k)\pi }{9}}}{2\sin {\frac {(1+3k)\pi }{9}}}}}$

donc

${\displaystyle x_{1},x_{-1}<0}$ et ${\displaystyle x_{0}>0}$. Par conséquent, c'est ${\displaystyle x_{0}}$ qui vaut cos(π/9). On a donc bien la formule annoncée.

On aurait d'ailleurs pu l'obtenir directement en remarquant d'emblée que

${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{9}}={\frac {\sin {\frac {2\pi }{9}}}{2\sin {\frac {\pi }{9}}}}={\frac {\sin \left({\frac {\pi }{3}}-{\frac {\pi }{9}}\right)}{2\sin {\frac {\pi }{9}}}}}$.

Nous avons une équation de la forme :

${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}$

avec :

${\displaystyle a=1,\qquad b=-3k,\qquad c=3k^{2}-m^{2},\qquad d=km^{2}-k^{3}}$.

La résolvante de Sotta est :

${\displaystyle {\begin{aligned}R(X)&=(b^{2}-3ac)X^{2}+(bc-9ad)X+(c^{2}-3bd)\\&=3m^{2}X^{2}-6km^{2}X+3k^{2}m^{2}+m^{4}.\end{aligned}}}$

Les racines de R sont :

${\displaystyle \alpha ={\frac {3k+\mathrm {i} m{\sqrt {3}}}{3}},\quad \beta ={\frac {3k-\mathrm {i} m{\sqrt {3}}}{3}}}$.

${\displaystyle {\frac {b+3\alpha a}{b+3\beta a}}={\frac {-3k+3k+\mathrm {i} m{\sqrt {3}}}{-3k+3k-\mathrm {i} m{\sqrt {3}}}}=-1}$.

Les racines de l'équation à résoudre sont donc :

${\displaystyle x_{k}={\frac {\alpha +\beta \mathrm {j} ^{k}}{1+\mathrm {j} ^{k}}}={\frac {3k+\mathrm {i} m{\sqrt {3}}+\mathrm {j} ^{k}(3k-\mathrm {i} m{\sqrt {3}})}{3(1+\mathrm {j} ^{k})}},\quad k\in \{0,1,2\}}$,

soit :

${\displaystyle x_{0}=k,\quad x_{1}=k-m,\quad x_{2}=k+m}$.

Remarque

Cet exercice suscite quelques commentaires.

D'abord, il était franchement ridicule d'appliquer la méthode de Sotta pour résoudre cette équation, puisqu'il saute aux yeux d'emblée qu'elle se met sous la forme :

${\displaystyle (x-k)^{3}=m^{2}(x-k)}$.

Ensuite, nous avons pu trouver une expression simple des racines notamment parce que

${\displaystyle {\frac {b+3\alpha a}{b+3\beta a}}}$

est le cube d'un rationnel.

Notre exercice montre qu'une condition suffisante (mais non nécessaire) pour qu’il en soit ainsi est que l'une des trois racines de l'équation à résoudre soit la moyenne arithmétique des deux autres. Cette dernière condition est clairement invariante par translation de la variable, donc il est vain d'espérer l'obtenir par un tel changement de variable. D'ailleurs (voir exercice 2-6 de Équation du troisième degré) cette condition est équivalente à l'annulation de la quantité

${\displaystyle 2b^{3}+27a^{2}d-9abc}$,

qui est elle-même invariante par translation de la variable.

Utilisons la méthode de Sotta pour résoudre l'équation :

${\displaystyle x^{3}-3x^{2}-x+{\frac {1}{3}}=0}$.

On a :

${\displaystyle a=1,\quad b=-3,\quad c=-1,\quad d={\frac {1}{3}}}$.

La résolvante de Sotta est donc :

${\displaystyle R(X)=(b^{2}-3ac)X^{2}+(bc-9ad)X+(c^{2}-3bd)=12X^{2}+4}$,

qui a pour racines :

${\displaystyle \alpha ={\frac {\mathrm {i} }{\sqrt {3}}},\quad \beta =-{\frac {\mathrm {i} }{\sqrt {3}}}}$.

On calcule ensuite :

${\displaystyle {\frac {b+3a\alpha }{b+3a\beta }}={\frac {-1+\alpha }{-1+\beta }}={\frac {-{\sqrt {3}}+\mathrm {i} }{-{\sqrt {3}}-\mathrm {i} }}={\frac {1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{-1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}}={\frac {2\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \pi /3}}{2\mathrm {e} ^{2\mathrm {i} \pi /3}}}=\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \pi /3}}$.

Les racines de l'équation à résoudre sont donc, pour ${\displaystyle k\in \{-1,0,1\}}$ :

${\displaystyle x_{k}={\frac {\alpha -\beta \mathrm {j} ^{k}\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \pi /9}}{1-\mathrm {j} ^{k}\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \pi /9}}}={\frac {\mathrm {i} }{\sqrt {3}}}{\frac {1+\mathrm {e} ^{\mathrm {i} (2k\pi /3-\pi /9)}}{1-\mathrm {e} ^{\mathrm {i} (2k\pi /3-\pi /9)}}}=-{\frac {\cot(k\pi /3-\pi /18)}{\sqrt {3}}}={\frac {\tan(k\pi /3-5\pi /9)}{\sqrt {3}}}={\frac {\tan(k\pi /3+4\pi /9)}{\sqrt {3}}}}$

c'est-à-dire :

${\displaystyle x_{-1}={\frac {\tan {\frac {\pi }{9}}}{\sqrt {3}}},\qquad x_{0}={\frac {\tan {\frac {4\pi }{9}}}{\sqrt {3}}},\qquad x_{1}={\frac {\tan {\frac {7\pi }{9}}}{\sqrt {3}}}}$.

Par ailleurs, le polynôme

${\displaystyle 3X^{3}-9X^{2}-3X+1}$

n'a pas de racine rationnelle, car ${\displaystyle \pm 1}$, ${\displaystyle \pm 1/3}$ ne sont pas racines.

Pour une solution bien plus simple, voir l'exercice 8-4 de la leçon sur l'équation du troisième degré.