Racines carrées
À quoi sert le calcul symbolique avec les racines carrées ?
Certains nombres ne peuvent s'exprimer exactement ni sous forme décimale, ni sous forme de fraction.
On peut alors essayer de les écrire sous forme de racines carrées.
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Si est un nombre positif, la racine carrée de est le seul nombre positif dont le carré est .
Elle se note : .
Premières propriétés
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Le carré d’une racine carrée d’un nombre (positif) est égal au nombre lui-même :
- .
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La racine carrée du carré d’un nombre positif est égale au nombre lui-même :
- Si alors .
Observer les différents placements du carré dans ces formules !
Exemples
Racines carrées et multiplication
La racine carrée « se comporte bien » avec les multiplications.
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Si a et b sont deux nombres positifs :
.
Exemple
On obtient bien le même résultat.
Soit deux nombres : a et b. Leur carré respectif sont les nombres A et B :
Autrement dit :
Cette propriété pourrait-elle se vérifier avec une addition ?
Application à la simplification d’une racine carrée
Simplifier en utilisant la propriété de la multiplication : .
.
Unicité de la simplification avec b entier le plus petit possible
Un même nombre a plusieurs écritures de la forme :
Pour donner le résultat exact d’un calcul, on l’écrit avec l'entier b le plus petit possible.
Ainsi un résultat comportant une racine carrée a une unique écriture « irréductible », comme les fractions.
Exemple
Mais :
donc :
mais la forme la plus simple est : car b = 2 est le plus petit possible.
Racines carrées et division
La racine carrée « se comporte bien » avec les divisions.
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Si a et b sont deux nombres positifs, et si b est différent de 0.
.
Exemple
On obtient bien le même résultat.
Soit deux nombres : a et b. Leur carré respectif sont les nombres A et B :
Autrement dit :
Application à la simplification d’une racine carrée
Simplifier en utilisant la propriété de la division : .
.
Des fractions sans racines carrées au dénominateur
Pour avoir une écriture simplifiée unique, on a l'habitude d'écrire les fractions comportant des racines carrées sans racines au dénominateur (sous le trait de fraction). On utilise la propriété de la division.
Exemple
Donner une écriture de : sans racines carrées au dénominateur.
.