Racine carrée/Exercices/Calculs de base

Exercice 1-1

Écrire les deux nombres suivants sous la forme $a{\sqrt {3}}$ :

$3{\sqrt {27}}-{\sqrt {108}}$ ;
${\sqrt {100-25}}$ .

Solution

{\begin{aligned}3{\sqrt {27}}-{\sqrt {108}}&=3{\sqrt {9\times 3}}-{\sqrt {36\times 3}}\\&=3\times 3{\sqrt {3}}-6{\sqrt {3}}\\&=9{\sqrt {3}}-6{\sqrt {3}}\\&=3{\sqrt {3}}.\end{aligned}}

{\begin{aligned}{\sqrt {100-25}}&={\sqrt {75}}\\&={\sqrt {25\times 3}}\\&=5{\sqrt {3}}.\end{aligned}}

Exercice 1-2

Mettre $2{\sqrt {5}}+2{\sqrt {125}}-7{\sqrt {45}}$ sous la forme $a{\sqrt {5}}$ .

Solution

${\begin{aligned}2{\sqrt {5}}+2{\sqrt {125}}-7{\sqrt {45}}&=2{\sqrt {5}}+2{\sqrt {25\times 5}}-7{\sqrt {5\times 9}}\\&=2{\sqrt {5}}+2\times 5{\sqrt {5}}-7\times 3{\sqrt {5}}\\&=2{\sqrt {5}}+10{\sqrt {5}}-21{\sqrt {5}}\\&=-9{\sqrt {5}}.\end{aligned}}$

Exercice 1-3

Déterminer les nombres $x$ tels que $x^{2}={\frac {325}{1053}}$ .

Solution

${\frac {325}{1053}}={\frac {25\times 13}{81\times 13}}={\frac {25}{81}}={\frac {5^{2}}{9^{2}}}$

donc

$x^{2}={\frac {325}{1053}}\Leftrightarrow x^{2}=\left({\frac {5}{9}}\right)^{2}\Leftrightarrow x=\pm {\frac {5}{9}}$ .

Exercice 1-4

Mettre ${\sqrt {1053}}-3{\sqrt {325}}+2{\sqrt {52}}$ sous la forme $a{\sqrt {13}}$ .

Solution

${\begin{aligned}{\sqrt {1053}}-3{\sqrt {325}}+2{\sqrt {52}}&={\sqrt {81\times 13}}-3{\sqrt {25\times 13}}+2{\sqrt {4\times 13}}\\&=9{\sqrt {13}}-3\times 5{\sqrt {13}}+2\times 2{\sqrt {13}}\\&=9{\sqrt {13}}-15{\sqrt {13}}+4{\sqrt {13}}\\&=-2{\sqrt {13}}.\end{aligned}}$

Exercice 1-5

Écrire les neuf nombres suivants sous la forme $a{\sqrt {b}}$ avec $a$ un entier relatif et $b$ un entier naturel le plus petit possible :

${\sqrt {300}}$ ;
$2{\sqrt {12}}-{\sqrt {27}}$ ;
${\sqrt {21}}\times {\sqrt {14}}$ ;
$5{\sqrt {12}}-{\sqrt {3}}+{\sqrt {27}}$ ;
${\sqrt {20}}-{\sqrt {45}}-7{\sqrt {5}}$ ;
$5{\sqrt {20}}+{\sqrt {45}}$ ;
$5{\sqrt {20}}\times {\sqrt {45}}\times {\sqrt {5}}$ ;
${\sqrt {8}}+{\sqrt {50}}-{\sqrt {18}}$ ;
${\sqrt {8}}\times {\sqrt {50}}\times {\sqrt {18}}$ .

Solution

${\sqrt {300}}={\sqrt {3\times 100}}=10{\sqrt {3}}$ ;
$2{\sqrt {12}}-{\sqrt {27}}=2{\sqrt {4\times 3}}-{\sqrt {9\times 3}}=2\times 2{\sqrt {3}}-3{\sqrt {3}}=4{\sqrt {3}}-3{\sqrt {3}}={\sqrt {3}}$ ;
${\sqrt {21}}\times {\sqrt {14}}={\sqrt {7\times 3}}\times {\sqrt {7\times 2}}={\sqrt {7\times 3\times 7\times 2}}=7{\sqrt {3\times 2}}=7{\sqrt {6}}$ ;
$5{\sqrt {12}}-{\sqrt {3}}+{\sqrt {27}}=5{\sqrt {4\times 3}}-{\sqrt {3}}+{\sqrt {9\times 3}}=5\times 2{\sqrt {3}}-{\sqrt {3}}+3{\sqrt {3}}=10{\sqrt {3}}-{\sqrt {3}}+3{\sqrt {3}}=12{\sqrt {3}}$ ;
${\sqrt {20}}-{\sqrt {45}}-7{\sqrt {5}}={\sqrt {4\times 5}}-{\sqrt {9\times 5}}-7{\sqrt {5}}=2{\sqrt {5}}-3{\sqrt {5}}-7{\sqrt {5}}=-8{\sqrt {5}}$ ;
$5{\sqrt {20}}+{\sqrt {45}}=5{\sqrt {4\times 5}}+{\sqrt {9\times 5}}=5\times 2{\sqrt {5}}+3{\sqrt {5}}=13{\sqrt {5}}$ ;
$5{\sqrt {20}}\times {\sqrt {45}}\times {\sqrt {5}}=5{\sqrt {4\times 5}}\times {\sqrt {9\times 5}}\times {\sqrt {5}}=5\times 2\times 3\times {\sqrt {5}}\times {\sqrt {5}}\times {\sqrt {5}}=5\times 2\times 3\times 5\times {\sqrt {5}}=150{\sqrt {5}}$ ;
${\sqrt {8}}+{\sqrt {50}}-{\sqrt {18}}={\sqrt {4\times 2}}+{\sqrt {25\times 2}}-{\sqrt {9\times 2}}=2{\sqrt {2}}+5{\sqrt {2}}-3{\sqrt {2}}=4{\sqrt {2}}$ ;
${\sqrt {8}}\times {\sqrt {50}}\times {\sqrt {18}}={\sqrt {4\times 2}}\times {\sqrt {25\times 2}}\times {\sqrt {9\times 2}}=2{\sqrt {2}}\times 5{\sqrt {2}}\times 3{\sqrt {2}}=2\times 5\times 3\times {\sqrt {2}}\times {\sqrt {2}}\times {\sqrt {2}}=2\times 5\times 3\times 2\times {\sqrt {2}}=60{\sqrt {2}}$ .

Exercice 1-6

Développer

2\left(3-2{\sqrt {5}}\right)^{2}

et donner le résultat sous la forme $a+b{\sqrt {5}}$ avec $a$ et $b$ entiers :

Solution

$2\left(3-2{\sqrt {5}}\right)^{2}=2\left(3^{2}-2\times 3\times 2{\sqrt {5}}+(2{\sqrt {5}})^{2}\right)=2\left(9-12{\sqrt {5}}+20\right)=2\left(29-12{\sqrt {5}}\right)=58-24{\sqrt {5}}$ .

Exercice 1-7

Mettre les deux nombres suivants sous la forme $a+b{\sqrt {3}}$ avec $a$ et $b$ entiers :

$\left(2{\sqrt {3}}-1\right)\left(6-{\sqrt {3}}\right)$ ;
${\sqrt {25}}-{\sqrt {75}}+5{\sqrt {27}}-{\sqrt {36\times 3}}+2{\sqrt {9}}$ .

Solution

$\left(2{\sqrt {3}}-1\right)\left(6-{\sqrt {3}}\right)=2{\sqrt {3}}\times 6-2{\sqrt {3}}\times {\sqrt {3}}-6+{\sqrt {3}}$
$=12{\sqrt {3}}-2\times 3-6+{\sqrt {3}}$

$=13{\sqrt {3}}-12$ .
${\sqrt {25}}-{\sqrt {75}}+5{\sqrt {27}}-{\sqrt {36\times 3}}+2{\sqrt {9}}=5-{\sqrt {25\times 3}}+5{\sqrt {9\times 3}}-6{\sqrt {3}}+2\times 3$
$=5-5{\sqrt {3}}+5\times 3{\sqrt {3}}-6{\sqrt {3}}+6$

$=5+6+(-5+15-6){\sqrt {3}}$

$=11+4{\sqrt {3}}$ .

Exercice 1-8

Mettre sous la forme $a+b{\sqrt {6}}$ , avec $a$ et $b$ entiers, le nombre :

3{\sqrt {2}}\left({\sqrt {3}}+1\right)-\left({\sqrt {2}}+1\right)\left({\sqrt {2}}+2\right)

.

Solution

${\begin{aligned}3{\sqrt {2}}\left({\sqrt {3}}+1\right)-\left({\sqrt {2}}+1\right)\left({\sqrt {2}}+2\right)&=3{\sqrt {2}}{\sqrt {3}}+3{\sqrt {2}}-\left({\sqrt {2}}{\sqrt {2}}+2{\sqrt {2}}+{\sqrt {2}}+2\right)\\&=3{\sqrt {2\times 3}}+3{\sqrt {2}}-\left(2+3{\sqrt {2}}+2\right)\\&=3{\sqrt {6}}+3{\sqrt {2}}-4-3{\sqrt {2}}\\&=3{\sqrt {6}}-4.\end{aligned}}$

Exercice 1-9

Écrire les trois nombres suivants sous la forme $a+b{\sqrt {c}}$ où $a$ et $b$ sont des rationnels et $c$ un entier naturel le plus petit possible :

$\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{2}+2$ ;
${\frac {{\sqrt {50}}{\sqrt {15}}}{\sqrt {27}}}$ ;
${\frac {{\sqrt {75}}{\sqrt {10}}}{\sqrt {8}}}$ .

Solution

$\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{2}+2={\frac {1+2{\sqrt {5}}+5}{4}}+2={\frac {3+{\sqrt {5}}}{2}}+{\frac {4}{2}}={\frac {7}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {5}}$ ;
${\frac {{\sqrt {50}}{\sqrt {15}}}{\sqrt {27}}}={\frac {\sqrt {5\times 10\times 5\times 3}}{\sqrt {9\times 3}}}={\frac {5{\sqrt {10}}{\sqrt {3}}}{3{\sqrt {3}}}}={\frac {5}{3}}{\sqrt {10}}$ ;
${\frac {{\sqrt {75}}{\sqrt {10}}}{\sqrt {8}}}={\frac {\sqrt {25\times 3\times 5\times 2}}{\sqrt {4\times 2}}}={\frac {5{\sqrt {3\times 5}}{\sqrt {2}}}{2{\sqrt {2}}}}={\frac {5}{2}}{\sqrt {15}}$ .

Exercice 1-10

Montrer que les deux nombres suivants sont entiers :

$\left(2{\sqrt {3}}+1\right)\left(2{\sqrt {3}}-1\right)$ ;
$8{\sqrt {5}}-{\sqrt {20}}-2{\sqrt {45}}$ .

Solution

$\left(2{\sqrt {3}}+1\right)\left(2{\sqrt {3}}-1\right)=\left(2{\sqrt {3}}\right)^{2}-1^{2}=4\times 3-1=11$ ;
$8{\sqrt {5}}-{\sqrt {20}}-2{\sqrt {45}}=8{\sqrt {5}}-{\sqrt {4\times 5}}-2{\sqrt {9\times 5}}=8{\sqrt {5}}-2{\sqrt {5}}-2\times 3{\sqrt {5}}=8{\sqrt {5}}-2{\sqrt {5}}-6{\sqrt {5}}=0$ .

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