1°  ${\displaystyle \varphi \approx 1{,}618}$.

2°  ${\displaystyle \varphi ^{2}\approx 2{,}618\approx 1+\varphi }$.

3°  ${\displaystyle \varphi ^{2}-\varphi ={\frac {1+2{\sqrt {5}}+5}{4}}-{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}={\frac {3+{\sqrt {5}}}{2}}-{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}={\frac {3-1}{2}}=1}$.

4°  a)  En remplaçant deux fois ${\displaystyle \varphi ^{2}}$ par ${\displaystyle 1+\varphi }$, on obtient bien ${\displaystyle \varphi ^{3}=\varphi \left(1+\varphi \right)=\varphi +\left(1+\varphi \right)=1+2\varphi }$.

b)  De même, ${\displaystyle \varphi ^{4}=\varphi \left(1+2\varphi \right)=\varphi +2\left(1+\varphi \right)=2+3\varphi }$.

c)  De même, ${\displaystyle \varphi ^{5}=\varphi \left(2+3\varphi \right)=2\varphi +3\left(1+\varphi \right)=3+5\varphi }$.

Remarque : de même, si ${\displaystyle \varphi ^{n}=a+b\varphi }$ alors ${\displaystyle \varphi ^{n+1}=b+(a+b)\varphi }$. On en déduit que ${\displaystyle \varphi ^{n}=F_{n-1}+F_{n}\varphi }$, où ${\displaystyle \left(F_{n}\right)}$ est la suite de Fibonacci.

1°  ${\displaystyle AD=l\varphi }$.

2°  a)  ${\displaystyle {\frac {EF}{FD}}={\frac {l}{AD-l}}={\frac {l}{l\varphi -l}}={\frac {1}{\varphi -1}}}$.

b)  ${\displaystyle \varphi \left(\varphi -1\right)=\varphi ^{2}-\varphi =1}$.

c)  ${\displaystyle {\frac {EF}{FD}}=\varphi }$ donc le rectangle ECDF est d'or.

Soit ${\displaystyle c}$ la longueur d'un côté du carré. D'après le théorème de Pythagore, ${\displaystyle IP=IC={\sqrt {c^{2}+{\frac {c^{2}}{4}}}}=c{\frac {\sqrt {5}}{2}}}$ donc ${\displaystyle AP={\frac {c}{2}}+c{\frac {\sqrt {5}}{2}}=c\varphi }$, ce qui prouve que le rectangle APQD est d'or. D'après la partie Ⅱ, BPQC est donc aussi un rectangle d'or.