Soient p et q deux propositions.

Conjonctions

La conjonction des propositions p et q est la proposition notée « p et q » ou ${\displaystyle p\land q}$ qui est vraie si et seulement si p et q sont simultanément vraies, c'est-à-dire p vraie et q vraie.

Disjonctions

La disjonction des propositions p et q est la proposition notée « p ou q » ou encore ${\displaystyle p\lor q}$ qui est vraie si et seulement si au moins une des deux propositions p ou q est vraie.

Il est important de remarquer que le « ou » est inclusif, c'est-à-dire si ${\displaystyle p\land q}$ est vraie alors ${\displaystyle p\lor q}$ est vraie.

On peut résumer tout cela avec cette table de vérité :

Valeur de p	Valeur de q	Valeur de ${\displaystyle p\lor q}$	Valeur de ${\displaystyle p\land q}$
Vraie	Vraie	Vraie	Vraie
Vraie	Fausse	Vraie	Fausse
Fausse	Vraie	Vraie	Fausse
Fausse	Fausse	Fausse	Fausse

Maintenant étudions cette table de vérité :

Valeur de p	Valeur de q	Valeur de ${\displaystyle p\land q}$	Valeur de ${\displaystyle {\bar {p}}\lor {\bar {q}}}$
V	V	V	F
V	F	F	V
F	V	F	V
F	F	F	V

On remarque que ${\displaystyle {\overline {p\land q}}}$ est équivalent à ${\displaystyle {\bar {p}}\lor {\bar {q}}}$. De même, on obtiendrait ${\displaystyle {\overline {p\lor q}}}$ est équivalent à ${\displaystyle {\bar {p}}\land {\bar {q}}}$.
On peut résumer ces propriétés en disant que la négation d'un « ou » est un « et » et la négation d'un « et » est un « ou ».

Dans des exemples :

(${\displaystyle 2>10}$) ou (${\displaystyle x^{2}=4}$ a au moins une solution.)	Vraie
(4 est pair) et (Les mammouths ont disparu)	Vraie
(${\displaystyle x+1=x+2-1}$) et (${\displaystyle {\frac {16}{4}}=3}$)	Faux
${\displaystyle \scriptstyle {\overline {4^{2}=16}}}$	Faux
${\displaystyle \scriptstyle {\overline {(x>2)\land (x<2)}}}$	Vraie

Négation des conjonctions et disjonctions (règles de De Morgan)

Elles ont été formulées par le mathématicien britannique Augustus De Morgan (1806-1871).

Soient ${\displaystyle P_{1}}$ et ${\displaystyle P_{2}}$ deux propositions.

Négation d'une conjonction

${\displaystyle \lnot (P_{1}\land P_{2})\leftrightarrow (\lnot P_{1})\lor (\lnot P_{2})}$

La négation d'une conjonction de deux propositions est équivalente à la disjonction des négations de ces deux propositions.

Négation d'une disjonction

${\displaystyle \lnot (P_{1}\lor P_{2})\leftrightarrow (\lnot P_{1})\land (\lnot P_{2})}$

La négation d'une disjonction de deux propositions est équivalente à la conjonction des négations de ces deux propositions.