Produit vectoriel/Exercices/Double produit vectoriel

On se place, comme dans toute cette leçon, dans un espace vectoriel euclidien orienté $E$ de dimension 3. On omet ici les flèches sur les vecteurs.

Exercice 2-1

Démontrer que

\forall u,v,w\in E\quad [u\land v,v\land w,w\land u]=[u,v,w]^{2}

.

Solution

$[u\land v,v\land w,w\land u]=z\cdot (w\land u)$ avec

$z=(u\land v)\land (v\land w)=\left((u\land v)\cdot w\right)v-\left((u\land v)\cdot v\right)w=[w,u,v]v-[v,u,v]w=[w,u,v]v$ donc

$[u\land v,v\land w,w\land u]=[w,u,v]v\cdot (w\land u)=[w,u,v]^{2}$ , or $[w,u,v]=[u,v,w]$ .

Exercice 2-2

Soient $a,b\in E$ avec $a\neq 0$ . Déterminer les vecteurs $u$ tels que $a\land u=b$ .

Solution

Si $b\not \perp a$ , il n'y a pas de solution.

Si $b\perp a$ , soit $c:=a\land b$ . Alors, $a\land c=(a\cdot b)a-(a\cdot a)b=-\|a\|^{2}b$ donc $u_{0}:=-{\frac {c}{\|a\|^{2}}}$ est une solution et $a\land (u_{0}+h)=b\Leftrightarrow a\land h=0$ . Par conséquent, l'ensemble des solutions est $u_{0}+\mathbb {R} a$ .

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