• Soient P un plan et M un point de l'espace.

La droite ${\displaystyle \Delta _{M}}$ passant par M et perpendiculaire à P coupe P en M', le projeté orthogonal de M sur P.

• Soit D une droite et M un point de l'espace.

Le plan ${\displaystyle P_{M}}$ passant par M et perpendiculaire à D coupe D en ${\displaystyle M''}$, le projeté orthogonal de M sur D.

Soient ${\displaystyle {\overrightarrow {u}}}$ et ${\displaystyle {\overrightarrow {v}}}$ deux vecteurs de l'espace.

Soient A, B et C trois points tels que ${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}={\overrightarrow {u}}}$ et ${\displaystyle {\overrightarrow {AC}}={\overrightarrow {v}}}$.

Le produit scalaire de ${\displaystyle {\overrightarrow {u}}}$ et ${\displaystyle {\overrightarrow {v}}}$ en tant que vecteurs de l'espace est

${\displaystyle {\overrightarrow {u}}.{\overrightarrow {v}}}$ en tant que vecteurs du plan (ABC).

• ${\displaystyle {\overrightarrow {u}}.{\overrightarrow {v}}=AB\times AC\times \cos({\overrightarrow {AB}}.{\overrightarrow {AC}})}$
• Si H est le projeté orthogonal de C sur la droite (AB) :
• ${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}.{\overrightarrow {AC}}=AB\times AH}$ si ${\displaystyle H\in \left(AB\right)}$
• ${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}.{\overrightarrow {AC}}=-AB\times AH}$ si ${\displaystyle H\not \in \left(AB\right)}$
• Soit un repère orthonormé de l'espace ${\displaystyle (O,{\overrightarrow {i}},{\overrightarrow {j}},{\overrightarrow {k}}}$) dans lequel ${\displaystyle {\overrightarrow {u}}(x,y,z)}$ et ${\displaystyle {\overrightarrow {v}}(x',y',z')}$,

On a alors : ${\displaystyle {\overrightarrow {u}}.{\overrightarrow {v}}=xx'+yy'+zz'}$