Dans un repère orthonormé :

• Un plan P de vecteur normal ${\displaystyle {\overrightarrow {n}}(a;b;c)}$ a une équation de la forme :

${\displaystyle ax+by+cz+d=0}$

où d est un réel (si d est nul, le plan passe par l'origine).

• Cela signifie que P est exactement l’ensemble des points ${\displaystyle M(x;y;z)}$ vérifiant cette équation.

Soit P un plan et A un point de l'espace.

La (plus courte) distance du point A au plan P est la distance AH, où H est le projeté orthogonal de A sur P.

Dans un repère orthonormé, si P a pour équation cartésienne ${\displaystyle ax+by+cz+d=0}$,

cette distance vaut :

${\displaystyle AH={\frac {|ax_{A}+by_{A}+cz_{A}+d|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}}$

Soient ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ trois réels non tous nuls, et ${\displaystyle d}$ un réel.

L'ensemble des points ${\displaystyle M(x;y;z)}$ qui vérifient ${\displaystyle ax+by+cz+d\geq 0}$ (resp.${\displaystyle \ >0}$) est le demi-espace fermé (resp. ouvert) délimité par le plan P d'équation :

${\displaystyle ax+by+cz+d=0}$.