Probabilités sur les ensembles finis/Probabilités conditionnelles

Probabilité de A sachant B

Définition

Soient A et B deux événements d'un espace probabilisé.

On définit la probabilité conditionnelle de A sachant B par :

$P_{B}(A)=P(A\mid B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}$ .

Exercices

On lance un dé équilibré. On note B l'événement « obtenir un numéro pair » et A l'événement « obtenir 4 ».
Calculer $P_{B}(A)$ et interpréter ce calcul.

Solution

On a $P(B)={\frac {3}{6}}={\frac {1}{2}}$ . De plus, 4 étant un nombre pair, il vient $P(A\cap B)=P(A)={\frac {1}{6}}$ , donc $P_{B}(A)={\frac {1}{3}}$ .

Ceci peut se comprendre facilement : entre 1 et 6, il y a trois nombres pairs (2, 4, 6), chacun ayant une chance équivalente d’être tiré.

On lance deux dés équilibrés et l'on calcule la somme des deux résultats.
Calculer la probabilité d'obtenir 8 sachant qu'un dé au moins possède un résultat supérieur ou égal à 5.

Solution

Notons $X_{1}$ et $X_{2}$ les résultats des deux dés. On demande donc d'évaluer $P(X_{1}+X_{2}=8\mid (X_{1}\geq 5)\cup (X_{2}\geq 5))$ .

On a $P(X_{1}\geq 5\cup X_{2}\geq 5)=P(X_{1}\geq 5)+P(X_{2}\geq 5)-P(X_{1}\geq 5\cap X_{2}\geq 5)=P(X_{1}\geq 5)+P(X_{2}\geq 5)-P(X_{1}\geq 5)P(X_{2}\geq 5)={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{3}}{\frac {1}{3}}={\frac {5}{9}}$ car les lancers sont indépendants.

Ensuite, pour le calcul de $P(X_{1}+X_{2}=8\cap (X_{1}\geq 5\cup X_{2}\geq 5))$ , ce résultat n'apparait que pour 4 couples ((2, 6), (3, 5), (5, 3) et (6, 2)), donc $P(X_{1}+X_{2}=8\cap (X_{1}\geq 5\cup X_{2}\geq 5))={\frac {4}{36}}={\frac {1}{9}}$ .

Finalement, la probabilité recherchée est de ${\frac {1}{5}}$ .

Formule pratique

Dans les problèmes, c’est souvent la probabilité conditionnelle qui est connue. On utilise alors :

Propriété

$P(A\cap B)=P_{B}(A)\times P(B)$ .

Exemple

Dans un lot de pièces pouvant avoir deux défauts L et E, 8 % ont E.

Parmi les pièces qui ont le défaut E, 25 % ont aussi le défaut L. Donner les probabilités suivantes :

$P(E)$ ;
$P_{E}(L)$ ;
$P(L\cap E)$ .

Solution

$P(E)=0{,}08$ et $P_{E}(L)=0{,}25$ donc $P(L\cap E)=P_{E}(L)\times P(E)=0{,}25\times 0{,}08=0{,}02$ .

Indépendance de deux événements

Intuitivement, on dit que deux événements sont indépendants quand la réalisation de l'un n'a pas d'influence sur celle de l'autre.

La définition formelle est la suivante :

Définition

Deux événements A et B sont indépendants si $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$ .

Exemples

Dans un lot de pièces pouvant avoir deux défauts L et E, 8 % ont E et 6 % ont L. Parmi les pièces qui ont le défaut E, 25 % ont aussi le défaut L.
Les événements « avoir E » et « avoir L » sont-ils indépendants ?
On lance successivement deux dés équilibrés et on calcule la somme des deux résultats.
- Les événements « obtenir 8 » et « obtenir 5 avec le premier dé » sont-ils indépendants ?
- Les événements « obtenir 8 » et « obtenir un numéro pair avec le premier dé » sont-ils indépendants ?

Solution

Dans ces trois cas, les deux événements sont dépendants. En effet :

$P(L\cap E)=0{,}02$ (cf. exemple précédent) , tandis que $P(L)\times P(E)=0{,}08\times 0{,}06=0{,}0048$ , ou plus directement : $P_{E}(L)=0{,}25$ tandis que $P(L)=0{,}06$ .
On peut obtenir 8 de 5 façons (équiprobables) : $2+6=3+5=4+4=5+3=6+2$ $2+6=3+5=4+4=5+3=6+2$ .
- $P(X_{1}=5\mid X_{1}+X_{2}=8)={\frac {1}{5}}$ , tandis que $P(X_{1}=5)={\frac {1}{6}}$ .
- $P(X_{1}{\text{ pair}}\mid X_{1}+X_{2}=8)={\frac {3}{5}}$ , tandis que $P(X_{1}{\text{ pair}})={\frac {1}{3}}$ .

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