Probabilités sur les ensembles finis/Exercices/Probabilités conditionnelles

Test de dépistage

On donnera les résultats sous forme de fractions irréductibles.

Un test de dépistage d'une certaine maladie a les caractéristiques suivantes :

le test appliqué à un malade est positif dans 90 % des cas,
le test appliqué à une personne saine est négatif dans 70 % des cas.

On choisit au hasard une personne dans une population dont les deux tiers sont malades, et on lui fait subir le test.

On notera les événements :

M : « la personne est malade »,
P : « le test est positif »,
S : « la personne est saine »,
N : « le test est négatif ».

Traduire les données de l'énoncé en termes de probabilités (éventuellement conditionnelles) et en déduire un arbre pondéré de probabilités.
Calculer la probabilité que le test soit positif pour la personne choisie.
Calculer la probabilité que le test donne une fausse idée de l'état de santé de la personne.
Calculer la « valeur prédictive » $p_{P}(M)$ du test et interpréter ce nombre.

Solution

$p(P\mid M)={\frac {9}{10}}$ , $p(N\mid S)={\frac {7}{10}}$ et $p(M)={\frac {2}{3}}$ .
${\begin{array}{cccc}&&&P&\dots &M\cap P\\&&\nearrow _{9/10}&&&\\&M&&\\\nearrow _{2/3}&&\searrow ^{1/10}&&&\\&&&N&\dots &M\cap N\\&&&&&\\&&&P&\dots &S\cap P\\\searrow ^{1/3}&&\nearrow _{3/10}&&&\\&S&&&&\\&&\searrow ^{7/10}&&&\\&&&N&\dots &S\cap N\end{array}}$
$p(P)=p(M\cap P)+p(S\cap P)={\frac {2}{3}}\times {\frac {9}{10}}+{\frac {1}{3}}\times {\frac {3}{10}}={\frac {7}{10}}$ .
$p\left((M\cap N)\cup (S\cap P)\right)={\frac {2}{3}}\times {\frac {1}{10}}+{\frac {1}{3}}\times {\frac {3}{10}}={\frac {1}{6}}$ .
$p_{P}(M)={\frac {p(M\cap P)}{p(P)}}={\frac {{\frac {2}{3}}\times {\frac {9}{10}}}{\frac {7}{10}}}={\frac {6}{7}}$ est la probabilité qu'une personne soit réellement atteinte, sachant que son test est positif.

Résultat au bac

On considère un établissement scolaire de 2 000 élèves, regroupant à la fois des collégiens et des lycéens.

19 % de l'effectif total est en classe de terminale.

Parmi ces élèves de terminale, 55 % sont des filles.

L'année considérée, le taux de réussite au baccalauréat dans cet établissement a été de 85 %.

Parmi les candidats ayant échoué, la proportion de filles a été de ${\frac {8}{19}}$ .

1. Compléter le tableau des effectifs suivant :

Élèves de terminale	Garçons	Filles	Total
Réussite
Échec
Total

Après la publication des résultats, on choisit au hasard un élève dans l’ensemble des élèves de terminale.

On considère les événements suivants :

G : « l'élève est un garçon » ; on note ${\overline {G}}$ l'événement contraire de $G$ ;
R : « l'élève a obtenu son baccalauréat » ; on note ${\overline {R}}$ l'événement contraire de $R$ .

2. Définir par une phrase les événements ${\overline {R}}$ et ${\overline {G}}\cap R$ .

Dans la suite des questions, on donnera les résultats sous forme de nombres décimaux arrondis à $10^{-2}$ .

3. Calculer les probabilités des événements ${\overline {R}}$ , ${\overline {G}}\cap R$ , $G$ , $G\cap R$ et $R$ .

4. Sachant que l'élève a obtenu son baccalauréat, calculer la probabilité qu'il soit une fille et celle qu'il soit un garçon.

5. Les événements $G$ et $R$ sont-ils indépendants ? Interpréter la réponse.

Solution

${\begin{array}{c|cc|c|}&G&F&T\\\hline R&138&185&323\\E&33&24&57\\\hline T&171&209&380\\\hline \end{array}}$
${\overline {R}}$ : « l'élève a échoué ». ${\overline {G}}\cap R$ : « l'élève est une fille et a réussi ».
$p({\overline {R}})=1-0{,}85=0{,}15$ , $p({\overline {G}}\cap R)={\frac {185}{380}}\approx 0{,}49$ , $p(G)={\frac {171}{380}}=0{,}45$ , $p(G\cap R)={\frac {138}{380}}\approx 0{,}36$ et $p(R)=0{,}85$ .
$p({\overline {G}}\mid R)={\frac {p({\overline {G}}\cap R)}{p(R)}}={\frac {185}{323}}\approx 0{,}57$ donc $p(G\mid R)=1-p({\overline {G}}\mid R)\approx 1-0{,}57=0{,}43$ .
$p(G\mid R)<p(G)$ . Les événements $G$ et $R$ sont dépendants : un élève a moins de chances d'être un garçon s'il a réussi. Autrement dit : un garçon réussit (en moyenne) moins bien qu'une fille. Ou plus directement, à partir de l'énoncé : $p({\overline {G}}\mid {\overline {R}})={\frac {8}{19}}\approx 0{,}42<0{,}55=p({\overline {G}})$ .

Sondage

Dans cet exercice, on demande les valeurs exactes des probabilités soit sous forme décimale exacte, soit sous forme fractionnaire.

Un centre commercial possède deux magasins de chaussures A et B.

Le magasin A vend trois fois plus de chaussures que le magasin B.

Un enquêteur d'un institut de sondage s'intéresse à un modèle de chaussures C.

Le magasin A réalise 3 % du nombre de ses ventes avec ce modèle.

Le magasin B réalise 5 % du nombre de ses ventes avec ce modèle.

L'enquêteur interroge au hasard un client ayant acheté des chaussures.

On note A l'événement : la paire de chaussures a été achetée au magasin A.

On note B l'événement : la paire de chaussures a été achetée au magasin B.

On note C l'événement : la paire de chaussures est un modèle C.

Donner $p(C\mid A)$ et $p(C\mid B)$ .
Construire un arbre de probabilités à deux étages et compléter entièrement cet arbre avec des probabilités.
Calculer $p(C)$ .
Calculer $p(A\mid C)$ .

Solution

$p(C\mid A)=0{,}03$ et $p(C\mid B)=0{,}05$ .
${\begin{array}{cccc}&&&C&\dots &p(A\cap C)=9/400\\&&\nearrow _{0{,}03}&&&\\&A&&\\\nearrow _{3/4}&&\searrow ^{0{,}97}&&&\\&&&{\overline {C}}&\dots &p(A\cap {\overline {C}})=291/400\\&&&&&\\&&&C&\dots &p(B\cap C)=5/400\\\searrow ^{1/4}&&\nearrow _{0{,}05}&&&\\&B&&&&\\&&\searrow ^{0{,}95}&&&\\&&&{\overline {C}}&\dots &p(B\cap {\overline {C}})=95/400\end{array}}$
$p(C)={\frac {9}{400}}+{\frac {5}{400}}={\frac {14}{400}}$ .
$p(A\mid C)={\frac {9/400}{14/400}}={\frac {9}{14}}$ .

Jetons et sac

On pioche au hasard un jeton dans un sac contenant 4 jetons verts et 3 jetons jaunes, puis on pioche au hasard un second jeton dans le même sac, sans avoir remis le premier.

On note :

$A$ l'événement « le premier jeton pioché est vert » ;
$B$ l'événement « le second jeton pioché est vert ».

Construire un arbre de probabilités.
Calculer $p(B)$ .
Sachant que l’on a tiré un jeton vert au second tirage, calculer la probabilité que l’on en ait tiré un vert également au premier tirage.
On considère l'expérience aléatoire consistant en l’ensemble des deux tirages et dont le résultat est la couleur du second jeton. On répète n fois cette expérience, et l'on note $C_{n}$ l'événement « on n'a obtenu aucun jeton vert ». Quelle est la nature de la suite $\left(p(C_{n})\right)$ ? Est-elle convergente ?

Solution

${\begin{array}{cccc}&&&B&\dots &A\cap B\\&&\nearrow _{1/2}&&&\\&A&&\\\nearrow _{4/7}&&\searrow ^{1/2}&&&\\&&&{\overline {B}}&\dots &A\cap {\overline {B}}\\&&&&&\\&&&B&\dots &{\overline {A}}\cap B\\\searrow ^{3/7}&&\nearrow _{2/3}&&&\\&{\overline {A}}&&&&\\&&\searrow ^{1/3}&&&\\&&&{\overline {B}}&\dots &{\overline {A}}\cap {\overline {B}}\end{array}}$
$p(B)=p(A\cap B)+p({\overline {A}}\cap B)={\frac {4}{7}}\times {\frac {1}{2}}+{\frac {3}{7}}\times {\frac {2}{3}}={\frac {4}{7}}$ .
$p(A\mid B)={\frac {p(A\cap B)}{p(B)}}={\frac {{\frac {4}{7}}\times {\frac {1}{2}}}{\frac {4}{7}}}={\frac {1}{2}}$ .
$p(C_{0})=1$ et $p(C_{n+1})=p(C_{n})\times p({\overline {B}})={\frac {3}{7}}p(C_{n})$ donc $p(C_{n})=\left({\frac {3}{7}}\right)^{n}$ , suite géométrique décroissante et convergeant vers $0$ .

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