Probabilités sur les ensembles finis/Exercices/Poker

On joue au poker avec un jeu de 52 cartes sans joker.

On simplifie le jeu en distribuant 5 cartes à chaque joueur dès la première donne.

1) Univers : Combien y a-t-il de "mains" de 5 cartes possibles ?

Solution

Cela revient à choisir 5 cartes sans ordre dans un ensemble de 52.

Donc ${\binom {52}{5}}=2598960$ mains possibles !

2) Un carré : avoir exactement les quatre cartes de même valeur.

Combien y a-t-il de mains comportant un carré ?

Solution

Il y a 13 façons de choisir le carré et il reste une carte isolée à choisir parmi les 48 restantes.

$13\times 48=624$ mains comprenant un carré.

3) Un brelan : avoir exactement trois cartes de même valeur.

Combien y a-t-il de mains comportant un brelan ?

Solution

Il faut choisir 3 cartes parmi 4 , il y a 13 façons de choisir le brelan. Il faut ensuite choisir 2 cartes parmi les 48 restantes.

Ensuite, il faut enlever les full

$13\times {\binom {4}{3}}\times {\binom {48}{2}}-3744=54912$ mains comprenant un brelan sans full ni carré

4) Une paire : avoir exactement deux cartes de même valeur.

Combien y a-t-il de mains comportant une paire ?

Solution

Il y a 13 façons de choisir la valeur de la paire, puis pour chaque valeur ${\binom {4}{2}}$ façons de faire.

Pour les 3 cartes restantes, il ne faut ni paire ni brelan, donc :

${\frac {12\times 4\times 11\times 4\times 10\times 4}{3!}}$

finalementdonc $13\times 6\times {\frac {12\times 4\times 11\times 4\times 10\times 4}{3!}}=1098240$ mains avec une paire seulement.

5) Une double-paire : avoir deux paires qui ne forment pas un carré.

Combien y a-t-il de mains comportant une double-paire ?

Solution

${\frac {13\times {\binom {4}{2}}\times 12\times {\binom {4}{2}}\times 11\times 4}{2!}}=123552$

6) Un full : avoir un brelan et une paire dans la même main.

Combien y a-t-il de mains comportant un full ?

Solution

$13\times {\binom {4}{3}}\times 12\times {\binom {4}{2}}=3744$

7) Une quinte : avoir cinq cartes qui se suivent.

Combien y a-t-il de mains comportant une quinte ?

Solution

$10\times 4^{5}-40(Quintesflush)=10200$

8) Une couleur : avoir cinq cartes assorties (cœur, carreau, pique ou trèfle).

Combien y a-t-il de mains comportant une couleur ?

Solution

$4\times {\binom {13}{5}}-40(Quintesflush)=5108$

9) Une quinte flush : Une quinte et une couleur.

Combien y a-t-il de mains comportant une quinte flush ?

Solution

$4\times 10=40$

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