Probabilités sur les ensembles finis/Exercices/Contrôle de qualité avec test

6 % des pièces fabriquées dans un atelier étant défectueuses, on décide de les contrôler à l'aide d'une machine.

On notera :

Calculer la probabilité de l'événement A : « la pièce est défectueuse et elle est acceptée quand même ».
Calculer la probabilité de l'événement B : « la pièce est bonne et elle est refusée ».
Calculer $P(A\cup B)$ . Interpréter ce résultat.
Calculer la probabilité que la pièce soit bonne, sachant qu'elle a été refusée.
On soumet une production à ce test, pour obtenir un stock de pièces acceptées et un stock de pièces refusées. Donner la composition de ces deux stocks en bonnes pièces et en pièces défectueuses.

Solution

$P(A)=P(D\cap {\overline {R}})=P(D)P({\overline {R}}\mid D)=0{,}06\times 0{,}01=0{,}0006$ .
$P(B)=P({\overline {D}}\cap R)=P({\overline {D}})P(R\mid {\overline {D}})=0{,}94\times 0{,}02=0{,}0188$ .
$A$ et $B$ sont disjoints donc $P(A\cup B)=P(A)+P(B)=0{,}0194$ . C'est la probabilité d'erreur de diagnostic.
$P(R)=P(B)+P(D\cap R)=P(B)+P(D)P(R\mid D)=0{,}0188+0{,}06\times 0{,}99=0{,}0188+0{,}0594=0{,}0792$ donc
$P({\overline {D}}\mid R)={\frac {P(B)}{P(R)}}={\frac {0{,}0188}{0{,}0792}}\approx 0{,}23737$ .
Dans les pièces refusées, environ 23,74 % sont bonnes donc environ 76,26 % sont défectueuses.
$P(D\mid {\overline {R}})={\frac {P(A)}{P({\overline {R}})}}={\frac {0{,}0006}{1-0{,}0792}}={\frac {0{,}0006}{0{,}9208}}\approx 0{,}000652$ donc dans les pièces acceptées, environ 0,07 % sont défectueuses et 99,93 % sont bonnes.

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