Ce premier chapitre pose les fondements des probabilités conditionnelles.

Approche et définition

Si l'on étudie, sur une population donnée, la probabilité de réalisation d'un certain événement, on peut parfois être amené à se limiter à une certaine partie de la population. Il est possible alors que la probabilité de réalisation de cet événement ne soit pas la même sur la population totale et sur la restriction de la population que l'on a choisie.

Exemple 1

Considérons une population dont une partie a été vaccinée contre la grippe. Si l'on considère l'événement « attraper la grippe », la confiance en ce vaccin nous amène à penser que la probabilité de cet événement va être différente selon que l'on considère la population totale ou seulement la partie de la population qui s'est fait vacciner, ou bien encore la partie de la population qui ne s'est pas fait vacciner. Nous dirons par exemple : « sachant qu'une personne a été vaccinée, sa probabilité d'attraper la grippe sera de 0,02 ». Nous pourrions dire aussi : « sachant qu'une personne n'a pas été vaccinée sa probabilité d'attraper la grippe sera de 0,13 ».

On peut aussi considérer qu'un événement A influe par sa présence sur la réalisation d'un événement B.

Exemple 2

Considérons un appareil électronique et considérons sa probabilité de tomber en panne un jour donné. Si l'appareil n'est pas protégé contre les surtensions, nous pouvons penser que sa probabilité de tomber en panne les jours d'orage sera plus importante que sa probabilité de tomber en panne les jours où il n'y a pas d'orage.

Les deux exemples précédents nous montrent que si l'on considère deux événements A et B qui ne sont pas indépendants l'un de l'autre, c'est-à-dire si la réalisation de l'un influe sur la réalisation de l'autre, nous pouvons être amenés à définir plusieurs probabilités pour décrire le degré d'influence de l'un des événements sur l'autre. Supposons, pour fixer les idées, que la réalisation de l'événement A affecte la probabilité de réalisation de l'événement B. Même si nous connaissons la probabilité de réalisation de l'événement B sans tenir compte de la réalisation de l'événement A, nous ne pourrons pas utiliser celle-ci si nous savons que l'événement A est réalisé. Nous définirons une nouvelle probabilité de réalisation de l'événement B en présence de l'événement A.

Définition de la probabilité conditionnelle

Soit A et B deux événements tels que la réalisation de l'événement B puisse éventuellement être influencée par la réalisation de l'événement A.

On appelle probabilité conditionnelle de B sachant A, la probabilité que B se réalise en présence de l'événement A.

On notera ${\displaystyle P_{A}(B)}$, ou ${\displaystyle P(B\mid A)}$, la probabilité de réalisation de l'événement B sachant que A est réalisé.

Calcul d'une probabilité conditionnelle

Dans ce paragraphe, nous allons donner une formule de calcul d'une probabilité conditionnelle.

Nous nous placerons d'abord dans le cas simplifié d'un univers ${\displaystyle \Omega }$ où tous les événements élémentaires sont équiprobables. Nous savons qu'alors, la probabilité d'un événement ${\displaystyle M}$ peut se calculer pas la formule :

Soit maintenant deux événements ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle B}$ de ${\displaystyle \Omega }$ :

Voyons comment utiliser la formule précédente pour calculer la probabilité ${\displaystyle P_{A}(B)}$. Si l'on sait que l'événement A est réalisé, alors tous les cas possibles seront les événements élémentaires de ${\displaystyle \Omega }$ qui seront dans ${\displaystyle A}$. Les cas favorables seront alors tous les événements élémentaires qui réalisent ${\displaystyle B}$ tout en restant dans ${\displaystyle A}$. Autrement dit, ce seront les événements qui se trouveront dans ${\displaystyle A\cap B}$. Nous aurons alors :

${\displaystyle P_{A}(B)={\frac {\text{cas favorables}}{\text{cas possibles}}}={\frac {p(A\cap B)}{p(A)}}}$.

En se limitant aux univers formés d'événements équiprobables, nous avons obtenu la formule :

${\displaystyle P_{A}(B)={\frac {p(A\cap B)}{p(A)}}}$.

Nous admettrons que cette formule reste valable pour des univers quelconques.

Nous retiendrons :

Relation fondamentale des probabilités conditionnelles

Soit ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle B}$ deux événements d'un univers ${\displaystyle \Omega }$. On a alors :

${\displaystyle P_{A}(B)={\frac {p(A\cap B)}{p(A)}}}$.

Exemple

Dans un pays, la probabilité d'attraper une maladie est de 0,24. Dans ce même pays, la probabilité d'attraper la maladie et d'en mourir est de 0,18.

Une personne attrape la maladie. Quelle est alors la probabilité qu'elle décède ?

Solution

Soit ${\displaystyle M}$ l'événement : « attraper la maladie ».

Soit ${\displaystyle D}$ l'événement : « décéder ».

Si une personne attrape la maladie, on sait que l’événement ${\displaystyle M}$ est réalisé. La probabilité qu'elle décède sera alors :

${\displaystyle p_{M}(D)={\frac {p(M\cap D)}{p(M)}}={\frac {0{,}18}{0{,}24}}=0{,}74}$.

 

Remarques

La formule :

${\displaystyle P_{A}(B)={\frac {p(A\cap B)}{p(A)}}}$

est souvent désignée sous l'appellation formule des probabilités conditionnelles, mais on peut aussi l'écrire sous la forme :

${\displaystyle p(A\cap B)=p(A)\times P_{A}(B)}$

où elle prend alors le nom de formule des probabilités composées.

Sous la deuxième forme, la formule présente deux avantages :

• le premier, c'est qu'elle est utilisable même si ${\displaystyle p(A)=0}$ ;
• le deuxième, c'est qu'elle est alors généralisable à un nombre quelconque d'ensembles ${\displaystyle A,\,B,\,C,\,\cdots }$, comme nous le verrons au chapitre suivant.

Autres formules

${\displaystyle p_{A}(B)}$ représente la probabilité de l'événement ${\displaystyle B}$ sachant que ${\displaystyle A}$ est réalisé. Mais si ${\displaystyle A}$ est réalisé, on peut éventuellement voir ${\displaystyle A}$ comme un événement certain. En fait, tout se passe comme si l'on changeait d'univers. L'événement ${\displaystyle A}$ peut être vu comme un nouvel univers qui vient remplacer ${\displaystyle \Omega }$. La probabilité ${\displaystyle p_{A}(B)}$ pourrait alors être définie comme la probabilité de l'événement ${\displaystyle B}$ en prenant ${\displaystyle A}$ comme nouvel univers.

Si nous avons dit cela, c'est pour dire que toutes les formules qui étaient valables dans l'univers ${\displaystyle \Omega }$ sont aussi valables dans le pseudo nouvel univers ${\displaystyle A}$.

On aura, par exemple :

On pourrait aussi écrire avec trois événements ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ et ${\displaystyle C}$ quelconques :

(mais cette formule n'est que rarement utile).