Nous allons aborder, dans ce chapitre, la notion d'événements indépendants.

Premières considérations

Soit ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle B}$ deux événements. Dire que ces deux événements sont indépendants, c'est dire que la réalisation de l'un des deux n'influe pas sur la probabilité de réalisation de l'autre.

C'est dire que la réalisation de ${\displaystyle A}$ n'influe pas sur la probabilité que ${\displaystyle B}$ se réalise, ce qui logiquement devrait se traduire par la relation ${\displaystyle p_{A}(B)=p(B)}$.

C'est dire aussi que la réalisation de ${\displaystyle B}$ n'influe pas sur la probabilité que ${\displaystyle A}$ se réalise, ce qui logiquement devrait se traduire par la relation ${\displaystyle p_{B}(A)=p(A)}$.

Mais nous remarquons que :

• d'une part : ${\displaystyle p_{A}(B)=p(B)\Rightarrow {\frac {p(A\cap B)}{p(A)}}=p(B)\Rightarrow p(A\cap B)=p(A)\times p(B)}$ ;
• d'autre part : ${\displaystyle p_{B}(A)=p(A)\Rightarrow {\frac {p(B\cap A)}{p(B)}}=p(A)\Rightarrow p(A\cap B)=p(A)\times p(B)}$.

Nous voyons que les deux relations d'indépendance entraînent la même relation :

${\displaystyle p(A\cap B)=p(A)\times p(B)}$.

De plus, cette relation présente deux avantages :

• elle est symétrique vis à vis de ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle B}$ ;
• elle a un sens même si ${\displaystyle p(A)}$ ou ${\displaystyle p(B)}$ est nul (ce qui n'était pas le cas des relations de départ), et elle est toujours réalisée dans ce cas.

Définition

Compte tenu du premier paragraphe, nous poserons la définition suivante :

Indépendance de deux événements

Deux événements ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle B}$ sont dits indépendants si l'on a la relation suivante :

${\displaystyle p(A\cap B)=p(A)\times p(B)}$.

Exemple

On lance un dé équilibré et l'on considère les deux événements suivants :

• ${\displaystyle A}$ est l'événement : « le numéro sorti est pair » ;
• ${\displaystyle B}$ est l'événement : « le numéro sorti est un multiple de 3 ».

Montrer que ces deux événements sont indépendants.

Solution

Nous avons affaire à un univers comportant 6 événements élémentaires équiprobables. Par conséquent :

• comme il y a 3 événements élémentaires consistant en la sortie d'un numéro pair, on a :

  ${\displaystyle p(A)={\frac {3}{6}}={\frac {1}{2}}}$ ;

• comme il y a 2 événements élémentaires consistant en la sortie d'un numéro multiple de trois, on a :

  ${\displaystyle p(B)={\frac {2}{6}}={\frac {1}{3}}}$ ;

• il n'y a qu'un événement élémentaire où l'on voit apparaître un numéro à la fois pair et multiple de 3, c'est la sortie du 6. On a donc :

  ${\displaystyle p(A\cap B)={\frac {1}{6}}}$.

Comme :

${\displaystyle p(A)\times p(B)={\frac {1}{2}}\times {\frac {1}{3}}={\frac {1}{6}}}$,

on voit que :

${\displaystyle p(A\cap B)=p(A)\times p(B)}$,

ce qui montre que les événements ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle B}$ sont indépendants.

 

Propriétés

Théorème

Si ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle B}$ sont deux événements indépendants, alors :

• ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle {\overline {B}}}$ sont deux événements indépendants ;
• ${\displaystyle {\overline {A}}}$ et ${\displaystyle B}$ sont deux événements indépendants ;
• ${\displaystyle {\overline {A}}}$ et ${\displaystyle {\overline {B}}}$ sont deux événements indépendants.