Photométrie/Exercices/Sources orthotropes

Source orthotrope sphérique et source orthotrope de la forme d'un disque

Une source 1 est une source orthotrope sphérique de rayon $R$ et de luminance $L$ .

Une source 2 est une source orthotrope qui forme un disque de même rayon $R$ et de même luminance $L$ . Elle observée dans la direction perpendiculaire à sa surface.

Montrer que pour une observation faite à grande distance (on se placera à l'infini), les deux sources, que l’on peut alors considérer ponctuelles, ont la même intensité.

Solution

Cas du disque

Notations utilisées

En utilisant les notations du formulaire d'analyse vectorielle en coordonnées cylindriques et en supposant la normale de la surface orientée dans l'axe des $z$ :

\mathrm {d^{2}} I_{D}=L\cdot {\overrightarrow {\mathrm {d^{2}} S_{D}}}\cdot {\overrightarrow {e_{z}}}=L\cdot \mathrm {d^{2}} S

\mathrm {d^{2}} S_{D}=r\cdot \mathrm {d} \theta \cdot \mathrm {d} r

I_{D}=L\cdot \int _{0}^{R}r\cdot \mathrm {d} r\int _{0}^{2\pi }\mathrm {d} \theta =L\cdot \left[{\frac {r^{2}}{2}}\right]_{0}^{R}\cdot \left[\theta \right]_{0}^{2\pi }

$I_{D}=L\cdot \pi \cdot R^{2}$

Cas de la sphère

Notations utilisées

En utilisant les notations du formulaire d'analyse vectorielle en coordonnées sphériques et en supposant l'observation faite dans l'axe des $z$ :

\mathrm {d^{2}} I_{S}=L\cdot {\overrightarrow {\mathrm {d^{2}} S_{S}}}\cdot {\overrightarrow {e_{z}}}=L\cdot \mathrm {d^{2}} S_{S}\cdot \cos \theta

{\mathrm {d^{2}} S}=R^{2}\cdot \sin \theta \cdot \mathrm {d} \theta \cdot \mathrm {d} \phi

I_{S}=L\cdot R^{2}\cdot \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin \theta \cdot \cos \theta \cdot \mathrm {d} \theta \int _{0}^{2\pi }\mathrm {d} \phi =L\cdot R^{2}\cdot \left[{\frac {\sin ^{2}\theta }{2}}\right]_{0}^{\frac {\pi }{2}}\cdot \left[\phi \right]_{0}^{2\pi }

$I_{S}=L\cdot \pi \cdot R^{2}$

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