Opérations sur les fonctions/Exercices/Somme

Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie sur $\left]0,+\infty \right[$ par $f(x)=-2x+4+{\frac {1}{x}}$ .

Écrire $f$ comme somme de deux fonctions $u$ et $v$ (définies sur $\left]0,+\infty \right[$ ).
Donner le sens de variation de $u$ et $v$ .
En déduire celui de $f$ .

Solution

$f=u+v$ avec (par exemple !) pour tout $x\in \left]0,+\infty \right[$ , $u(x)=-2x+4$ et $v(x)={\frac {1}{x}}$ .
Sur $\left]0,+\infty \right[$ $\left]0,+\infty \right[$ :
- $u$ , fonction affine de coefficient directeur $-2$ , est décroissante ;
- $v$ , fonction inverse, est décroissante.
$f$ , somme de deux fonctions décroissantes, est décroissante.

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