Dérivée des fonctions usuelles

• ${\displaystyle \textstyle \cos '(x)=-\sin(x)}$
• ${\displaystyle \textstyle \sin '(x)=\cos(x)}$
• ${\displaystyle \textstyle \tan '(x)={\frac {1}{\cos ^{2}(x)}}=1+\tan ^{2}(x)}$

Cosinus, sinus et tangente d'une somme

• ${\displaystyle \textstyle \cos(a+b)=\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)}$
• ${\displaystyle \textstyle \cos(a-b)=\cos(a)\cos(b)+\sin(a)\sin(b)}$
• ${\displaystyle \textstyle \sin(a+b)=\sin(a)\cos(b)+\cos(a)\sin(b)}$
• ${\displaystyle \textstyle \sin(a-b)=\sin(a)\cos(b)-\cos(a)\sin(b)}$
• ${\displaystyle \textstyle \tan(a+b)={\frac {\tan(a)+\tan(b)}{1-\tan(a)\tan(b)}}}$
• ${\displaystyle \textstyle \tan(a-b)={\frac {\tan(a)-\tan(b)}{1+\tan(a)\tan(b)}}}$

Produit de cosinus, sinus ou tangente

• ${\displaystyle \textstyle \cos(a)\cos(b)={\frac {1}{2}}(\cos(a-b)+\cos(a+b))}$
• ${\displaystyle \textstyle \sin(a)\sin(b)={\frac {1}{2}}(\cos(a-b)-\cos(a+b))}$
• ${\displaystyle \textstyle \sin(a)\cos(b)={\frac {1}{2}}(\sin(a+b)+\sin(a-b))}$
• ${\displaystyle \textstyle \cos(a)\sin(b)={\frac {1}{2}}(\sin(a+b)-\sin(a-b))}$

Somme de cosinus, sinus ou tangente

• ${\displaystyle \textstyle \sin(p)+\sin(q)=2\sin({\frac {p+q}{2}})\cos({\frac {p-q}{2}})}$
• ${\displaystyle \textstyle \sin(p)-\sin(q)=2\cos({\frac {p+q}{2}})\sin({\frac {p-q}{2}})}$
• ${\displaystyle \textstyle \cos(p)+\cos(q)=2coq({\frac {p+q}{2}})\cos({\frac {p-q}{2}})}$
• ${\displaystyle \textstyle \cos(p)-\cos(q)=-2\sin({\frac {p+q}{2}})\sin({\frac {p-q}{2}})}$

Formules de duplication

• ${\displaystyle \textstyle \cos(2x)=\cos ^{2}(x)-\sin ^{2}(x)=2\cos ^{2}(x)-1=1-2\sin ^{2}(x)}$
• ${\displaystyle \textstyle \sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)}$
• ${\displaystyle \textstyle \tan(2x)={\frac {2\tan(x)}{1-\tan ^{2}(x)}}}$

Formules de linérisation

• ${\displaystyle \textstyle \cos ^{2}(x)={\frac {1+\cos(2x)}{2}}}$
• ${\displaystyle \textstyle \sin ^{2}(x)={\frac {1-\cos(2x)}{2}}}$

Substitution de la tangente

On pose ${\displaystyle \scriptstyle t=\tan({\frac {x}{2}})}$

• ${\displaystyle \textstyle \sin(x)={\frac {2t}{1+t^{2}}}}$
• ${\displaystyle \textstyle \cos(x)={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}}$
• ${\displaystyle \textstyle \tan(x)={\frac {2t}{1-t^{2}}}}$

Formule d'Euler

• ${\displaystyle \textstyle \cos(x)=Re(e^{i\theta })={\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}}}$
• ${\displaystyle \textstyle \sin(x)=Im(e^{i\theta })={\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}}}$
• Remarque : On utilisera ces deux formules pour linéariser des expressions de la forme ${\displaystyle \cos ^{p}(\theta )+\sin ^{n}(\theta )}$

Formule de Moivre

• Soient ${\displaystyle \scriptstyle \theta \in \mathbb {R} }$ et ${\displaystyle \scriptstyle n\in \mathbb {N} }$, alors :
  ${\displaystyle \cos(n\theta )+i\sin(n\theta )=e^{in\theta }=(e^{i\theta })^{n}=(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}}$

Binôme de Newton

• Rappel : ${\displaystyle \textstyle {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}}$
• Soient ${\displaystyle a,b}$ des nombres réels ou complexes et ${\displaystyle n}$ un entier naturel
  ${\displaystyle (a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{n-k}b^{k}}$

Application du binôme

• Soient ${\displaystyle \scriptstyle \theta \in \mathbb {R} }$ et ${\displaystyle \scriptstyle n\in \mathbb {N} }$, alors :
  ${\displaystyle \cos(n\theta )=\sum _{\overset {k=0}{\text{k pair}}}^{\overset {\color {White}n}{n}}{\binom {n}{k}}\cos ^{n-k}(\theta )i^{k}\sin ^{k}(\theta )}$
  ${\displaystyle \sin(n\theta )={\frac {1}{2}}\sum _{\overset {k=0}{\text{k impair}}}^{\overset {\color {White}n}{n}}{\binom {n}{k}}\cos ^{n-k}(\theta )i^{k}\sin ^{k}(\theta )}$

Introduction

• Soit ${\displaystyle \scriptstyle z\in \mathbb {C} ^{*}}$, alors ${\displaystyle \scriptstyle z^{n}}$ admet exactement ${\displaystyle n}$ racines ${\displaystyle n}$^ièmes 2 à 2 distinctes.
• Les racines carrées des nombres complexes de ${\displaystyle \scriptstyle R\cdot e^{i\theta }}$ sont ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {R}}\cdot e^{i{\frac {\theta }{2}}}}$ et ${\displaystyle \scriptstyle -{\sqrt {R}}\cdot e^{i{\frac {\theta }{2}}}}$.

Racines de l'unité

• Les racines de l'unité sont :
  ${\displaystyle \omega _{k}=e^{\frac {2ik\pi }{n}},k\in \{0,1,\ldots ,n-1\}}$
• Les racines cubiques de l'unité sont ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle j}$ et ${\displaystyle j^{2}}$, où :
  ${\displaystyle j=e^{\frac {2\pi i}{3}}={\frac {-1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}}$
• De plus, on a : ${\displaystyle \textstyle {\bar {j}}=j^{2}}$ et ${\displaystyle \textstyle j^{2}+j+1=0}$

Calculs algébriques des racines carrées

• Pour obtenir les racines carrées de ${\displaystyle \scriptstyle Z=X+iY\in \mathbb {C} ^{*}}$ sous forme algébrique, on résout ${\displaystyle z^{2}=Z}$
  ${\displaystyle z^{2}=Z\Leftrightarrow {\begin{cases}(x+iy)^{2}=X+iY\\|z|^{2}=|Z|\end{cases}}}$

Résolution d'une équation du second degré à coefficients complexes

• Soient ${\displaystyle a,b,c}$ des nombres complexes avec ${\displaystyle \scriptstyle a\neq 0}$
  On veut résoudre ${\displaystyle az^{2}+bz+c=0}$.
  On pose ${\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac}$.
  • Si ${\displaystyle \scriptstyle \Delta \neq 0}$, les solutions de l'équation sont ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {-b+\delta }{2a}}}$ et ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {-b-\delta }{2a}}}$ (où ${\displaystyle \delta }$ est une racine carrée de ${\displaystyle \Delta }$)
  • Si ${\displaystyle \scriptstyle \Delta =0}$, alors l'équation a une solution double : ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {-b}{2a}}}$

Remarque : si ${\displaystyle z_{1}}$ et ${\displaystyle z_{2}}$ sont solutions de l'équation ${\displaystyle \scriptstyle az^{2}+bz+c=0}$, alors ${\displaystyle \scriptstyle z_{1}+z_{2}={\frac {-b}{a}}}$ et ${\displaystyle \scriptstyle z_{1}z_{2}={\frac {c}{a}}}$

Proposition sur la somme et le produit des racines

• Si ${\displaystyle z_{1}}$ et ${\displaystyle z_{2}}$ sont des nombres complexes dont on connaît la somme ${\displaystyle S}$ et le produit ${\displaystyle P}$.
  Alors ${\displaystyle z_{1}}$ et ${\displaystyle z_{2}}$ sont solutions de l'équation ${\displaystyle z^{2}-Sz+P=0}$.

Quelques rappels utiles ...

• Soient ${\displaystyle \scriptstyle A(a),\ B(b),\ M(z)}$ des points de ${\displaystyle P}$ (avec ${\displaystyle \scriptstyle M\neq A}$ et ${\displaystyle \scriptstyle M\neq B}$)
  • ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {MA}{MB}}\;=\;|{\frac {z-a}{z-b}}|}$
  • ${\displaystyle \scriptstyle ({\overrightarrow {MB}},{\overrightarrow {MA}})\;=\;\arg({\frac {z-a}{z-b}})}$
  • Les points ${\displaystyle A,B,M}$ sont alignés si et seulement si ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {z-a}{z-b}}\in \mathbb {R} }$

Transformations usuelles

• L'application ${\displaystyle {\begin{array}{llll}_{\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} }\\^{z\rightarrow z+b}\end{array}}}$ se traduit géométriquement par la translation de vecteur ${\displaystyle \scriptstyle Re(b){\vec {i}}+Im(b){\vec {j}}}$
• L'application ${\displaystyle {\begin{array}{llll}_{\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} }\\^{z\rightarrow {\bar {z}}}\end{array}}}$ se traduit géométriquement par la symétrie d'axe (Ox).
• L'application ${\displaystyle {\begin{array}{llll}_{\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} }\\^{z\rightarrow az}\end{array}}}$ se traduit géométriquement par la transformation ${\displaystyle \scriptstyle M\rightarrow M'}$ avec : ${\displaystyle \textstyle {\begin{cases}OM'=|a|\cdot OM\\({\vec {i}},{\overrightarrow {OM'}})=({\vec {i}},{\overrightarrow {OM}})+\arg(a)~[2\pi ]\end{cases}}}$
• L'application ${\displaystyle {\begin{array}{llll}_{\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} }\\^{z\rightarrow az+b}\end{array}}}$ se traduit géométriquement par la transformation ${\displaystyle \scriptstyle M\rightarrow M'}$ où : ${\displaystyle \textstyle {\overrightarrow {\Omega M'}}=|a|\cdot e^{i\arg(a)}{\overrightarrow {\Omega M}}}$ (où ${\displaystyle \Omega }$ est l'unique point fixe d'affixe ${\displaystyle \scriptstyle \omega ={\frac {b}{1-a}}}$)
  Cette transformation est appelée similitude directe de centre ${\displaystyle M}$, d'angle ${\displaystyle \arg(a)}$ et de rapport ${\displaystyle |a|}$.

Notion de disque

• Le disque ouvert de centre ${\displaystyle a}$ et de rayon ${\displaystyle r}$ est : ${\displaystyle \scriptstyle D(a,r)\;=\;\{z\in \mathbb {C} \;/\;|z-a|<r\}}$
• Le disque fermé de centre ${\displaystyle a}$ et de rayon ${\displaystyle r}$ est : ${\displaystyle \scriptstyle D'(a,r)\;=\;\{z\in \mathbb {C} \;/\;|z-a|\leqslant r\}}$

Expression avancée du scalaire de deux vecteurs

• Soient ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {u}}(a)}$ et ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {v}}(b)}$ des vecteurs de ${\displaystyle P}$, alors on a : ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {u}}\cdot {\vec {v}}\;=\;Re(a{\bar {b}})}$
• Soient ${\displaystyle \scriptstyle A(a),\ B(b),\ M(z)}$ des points de ${\displaystyle P}$, alors les vecteurs ${\displaystyle \scriptstyle {\overrightarrow {MA}}}$ et ${\displaystyle \scriptstyle {\overrightarrow {MB}}}$ sont orthogonaux si et seulement si : ${\displaystyle \scriptstyle Re((z-a)({\bar {z}}-{\bar {b}}))=0}$

Racines de l'unité

• L'ensemble des racines ${\displaystyle n}$^ièmes de l'unité forme un polygone régulier à ${\displaystyle n}$ côtés (racines cubiques : triangle ; racines 4^e : carré ; ...)