Nombre entier relatif/Définition

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Introduction

Un nombre entier relatif est un nombre entier positif ou négatif (qui se forme par addition d'unités) L'ensemble des entiers relatifs se note $\mathbb {Z}$ .

$\mathbb {Z}$ , un ensemble

$\mathbb {Z}$ est en bijection avec $\mathbb {N}$ , il est donc infini dénombrable. Une telle bijection est par exemple : ${\begin{matrix}\mathbb {Z} &\longrightarrow &\mathbb {N} \\n&\longmapsto &\left\{{\begin{matrix}2n&{\mbox{si }}n\geq 0\\-2n-1&{\mbox{si }}n<0\end{matrix}}\right.\end{matrix}}$

$\mathbb {Z}$ , un anneau

$\mathbb {Z}$ est un anneau commutatif ( $a+b=b+a$ ) pour les lois $+$ et $*$ . Contrairement à $\mathbb {N}$ , tout élément possède un inverse pour l'addition (ici, on parle plutôt d'opposé), mais les seuls éléments inversibles pour la multiplication sont 1 et -1.

Tous ses idéaux sont de la forme $n\mathbb {Z}$ (cela vient du fait qu’il existe une division euclidienne), ce qui lui confère la dignité d'anneau principal

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Introduction

Z {\displaystyle \mathbb {Z} } , un ensemble

Z {\displaystyle \mathbb {Z} } , un anneau

$\mathbb {Z}$ , un ensemble

$\mathbb {Z}$ , un anneau