Soient e₁ un neutre à gauche et e₂ un neutre à droite. Prouvons que e₁ = e₂. Puisque e₁ est neutre à gauche, le composé ${\displaystyle e_{1}\star e_{2}}$ est égal à e₂. Puisque e₂ est neutre à droite, le même composé est égal à e₁. Il en résulte que e₁ et e₂ sont égaux. Donc, si nous posons e = e₁ = e₂, e est un élément neutre. Le premier raisonnement tenu dans la démonstration prouve que tout neutre à gauche est égal à e₂ = e, donc e est le seul neutre à gauche. De même, il est le seul neutre à droite.

Soit E un ensemble d'au moins deux éléments. Définissons sur E une loi de composition interne ${\displaystyle \ \star }$ par

${\displaystyle \ a\star b=b}$ pour tous éléments a, b de E.

Cette loi est associative car pour tous éléments x, y et z de E, ${\displaystyle (x\star y)\star z}$ et ${\displaystyle x\star (y\star z)}$ sont tous deux égaux à z. Il est clair que tout élément de E est neutre à gauche. Comme E est supposé avoir au moins deux éléments, il admet donc au moins deux neutres à gauche. D'après le point a), il n'admet donc pas de neutre à droite, ce qu'on peut évidemment montrer plus directement.

Soit x un élément de M. Il s'agit de prouver que x admet un symétrique. Par hypothèse, il admet un symétrique à gauche, donc il existe un élément x' de M tel que

(1) x' x = 1.

Par hypothèse, x' admet lui aussi un symétrique à gauche, donc il existe un élément x'' de M tel que

(2) x'' x' = 1.

En vertu de l'associativité, nous avons

(3) (x'' x') x = x'' (x' x).

Puisque x'' x' = x' x = 1, la relation (3) peut s'écrire x = x''. Nous pouvons donc remplacer x'' par x dans (2). Nous obtenons ainsi x x' = 1, ce qui, joint à (1), montre que x' est symétrique de x, d'où notre thèse.

Nous rédigeons ici une solution pour les hypothèses « ${\displaystyle e}$ neutre à gauche et ${\displaystyle \forall x\in M,\ \exists x'\in M:\,x'x=e}$ » ; le raisonnement pour « ${\displaystyle e}$ neutre à droite et ${\displaystyle \forall x\in M,\ \exists x'\in M:\,xx'=e}$ » est analogue.

1) Montrons que : ${\displaystyle \forall a\in M,\ aa=a\implies a=e}$.

Soit ${\displaystyle a}$ dans ${\displaystyle M}$ tel que ${\displaystyle aa=a}$. Comme ${\displaystyle e}$ est neutre à gauche, on a ${\displaystyle a=ea}$. Par hypothèse, il existe ${\displaystyle a'}$ dans ${\displaystyle M}$ tel que ${\displaystyle a'a=e}$, d'où ${\displaystyle a=ea=(a'a)a=a'(aa)=a'a=e}$.

2) Montrons que pour tout ${\displaystyle x}$ dans ${\displaystyle M}$, il existe ${\displaystyle x'}$ dans ${\displaystyle M}$ tel que ${\displaystyle x'x=xx'=e}$.

Soit ${\displaystyle x}$ dans ${\displaystyle M}$. Par hypothèse, il existe ${\displaystyle x'}$ dans ${\displaystyle M}$ tel que ${\displaystyle x'x=e}$. On a donc :

${\displaystyle (xx')(xx')=x(x'x)x'=xex'=x(ex')=xx'}$.

D'après 1), il en résulte que ${\displaystyle xx'=e}$, d'où ${\displaystyle x'x=xx'=e}$

Remarque : nous ne disons pas que ${\displaystyle x}$ est symétrisable, car pour l'instant on n'a pas prouvé que ${\displaystyle e}$ est élément neutre de ${\displaystyle M}$ ; on sait juste qu'il est neutre à gauche.

3) Montrons que ${\displaystyle e}$ est élément neutre de ${\displaystyle M}$.

${\displaystyle e}$ étant neutre à gauche par hypothèse, il suffit de montrer qu'il est aussi neutre à droite.

Soit ${\displaystyle x}$ dans ${\displaystyle M}$. D'après 2), il existe ${\displaystyle x'}$ dans ${\displaystyle M}$ tel que ${\displaystyle x'x=xx'=e}$. On a donc ${\displaystyle xe=x(x'x)=(xx')x=ex=x}$, la dernière égalité résultant du fait que ${\displaystyle e}$ est neutre à gauche. Ainsi, pour tout ${\displaystyle x}$ dans ${\displaystyle M}$, ${\displaystyle xe=ex=x}$, autrement dit ${\displaystyle e}$ est élément neutre de ${\displaystyle M}$. Avec 2), on en déduit que tout élément de ${\displaystyle M}$ admet un symétrique.

Au final, ${\displaystyle M}$ est un magma associatif, admettant un élément neutre, et dont tout élément est symétrisable : c'est un groupe.