Mathématiques financières/Règles de base

Les mathématiques financières regroupent une partie de l'algèbre dédiée aux calculs financiers. Elles concernent principalement les formations au niveau comptable ou commercial.

Notations

Dans cette leçon, on adoptera les notations suivantes :

$a$ désignera le montant d'un versement périodique : une annuité (ou mensualité, trimestrialité, etc.) ;
$i$ indiquera le taux d'intérêt sous forme décimale. Ainsi, le taux de 6 % sera donc 0,06 ;
$n$ sera le nombre de versements.

Le calcul des intérêts

La valeur acquise

La valeur acquise est le montant que je pourrai obtenir dans un certain nombre de périodes (n) d'un placement (C) que je fais aujourd’hui.

Propriété

Pour un placement C à taux fixe i, la valeur acquise au terme de la n-ième période est égale à :

V_{acq}=C\times (1+i)^{n}

.

Démonstration

À la fin de la première période, les intérêts sont de :

a\times i=C\times i

,

ce qui donne pour capitalisation (somme du capital initial et des intérêts) :

C+C\times i=C\left(1+i\right)

.

La nouvelle capitalisation au terme de la deuxième période est :

C\left(1+i\right)\left(1+i\right)=C\left(1+i\right)^{2}

, et ainsi de suite.

Exemple

Un épargnant place 300 € sur un livret d'épargne rémunéré à 3,35 % l'an. De combien disposera-t-il dans 10 ans ?

Solution

$300\times 1{,}0335^{10}=300\times 1{,}3902881=417{,}09$ .

La valeur actuelle

La valeur actuelle d'une somme est l'opération inverse de la valeur acquise. Il s'agit de ramener une valeur future vers celle d'aujourd'hui.

D'après le calcul précédent, on a $V_{acq}=V_{act}\left(1+i\right)^{n}$ , ce qui donne :

Propriété

V_{act}={\frac {V_{acq}}{\left(1+i\right)^{n}}}=V_{acq}\left(1+i\right)^{-n}

.

Exemple

Un père promet à son fils de lui verser la somme de 1 500 € dans 10 ans.

À raison d'une prévision d'inflation de 5 % l'an, quel est le montant réel de la somme aujourd’hui ?

Solution

${\frac {1500}{1{,}05^{10}}}={\frac {1500}{1{,}6288946}}=920{,}87$ .

Taux proportionnel et taux équivalent

Un taux proportionnel se calcule dans des sous-périodes non soumises à capitalisation. Par conséquent :

Proposition

Le taux proportionnel aux taux $i$ pour une période divisée en $k$ sous-périodes est ${\frac {i}{k}}$ .

Exemple

Le taux mensuel proportionnel à un taux annuel de 12 % l'an est de 1 %.

Un taux équivalent, lui, se calcule dans des sous-périodes soumises à capitalisation. Il est donc inférieur au taux proportionnel, et donné par une formule plus compliquée :

Proposition

Le taux équivalent aux taux $i$ pour une période divisée en $k$ sous-périodes est ${\sqrt[{k}]{1+i}}-1$ .

Démonstration

$\left(1+j\right)^{k}=1+i\Leftrightarrow 1+j={\sqrt[{k}]{1+i}}\Leftrightarrow j={\sqrt[{k}]{1+i}}-1$ .

Exemples

Le taux mensuel équivalent à un taux annuel de 12 % est : ${\sqrt[{12}]{1{,}12}}-1\approx 0{,}0095$ , soit 0,95 %.

Inversement, pour un taux mensuel équivalent de 1 %, le taux annuel est : $1,01^{12}-1\approx 0{,}1268$ , soit 12,68 %.

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