Pour ${\displaystyle x>0}$, on pose

${\displaystyle f(x)=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {e} ^{t}}{x+t}}\;\mathrm {d} t}$.

1. Montrer que ${\displaystyle f}$ est bien définie sur ${\displaystyle \left]0,+\infty \right[}$ et que ${\displaystyle f(0)}$ est une intégrale divergente.
2. Montrer que ${\displaystyle f}$ est décroissante.
3. Montrer que
   ${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} _{+}^{*}\quad f(x)=\mathrm {e} ^{-x}\int _{x}^{x+1}{\frac {\mathrm {e} ^{u}}{u}}\;\mathrm {d} u}$.
4. On définit la fonction ${\displaystyle h:\mathbb {R} _{+}^{*}\to \mathbb {R} }$ par
   ${\displaystyle h(x)=\int _{x}^{x+1}{\frac {\mathrm {e} ^{u}}{u}}\;\mathrm {d} u}$.
   Montrer que ${\displaystyle h}$ est dérivable et exprimer sa dérivée.
5. En déduire que ${\displaystyle f}$ est dérivable et que
   ${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} _{+}^{*}\quad f'(x)=-f(x)+{\frac {\mathrm {e} }{x+1}}-{\frac {1}{x}}}$.

Dans les questions suivantes, on étudie le comportement de ${\displaystyle f}$ au voisinage de ${\displaystyle +\infty }$ puis au voisinage de ${\displaystyle 0}$. Il est conseillé d'utiliser la formule ${\displaystyle f(x)=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {e} ^{t}}{x+t}}\;\mathrm {d} t}$.

1. Montrer que
   ${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} _{+}^{*}\quad {\frac {1}{x+1}}\int _{0}^{1}\mathrm {e} ^{t}\;\mathrm {d} t\leq f(x)\leq {\frac {1}{x}}\int _{0}^{1}\mathrm {e} ^{t}\;\mathrm {d} t}$.
2. En déduire un équivalent de ${\displaystyle f}$ au voisinage de ${\displaystyle +\infty }$.
3. Montrer que
   ${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} _{+}^{*}\quad f(x)=g(x)+\ln(x+1)-\ln x}$,
   avec
   ${\displaystyle g(x)=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {e} ^{t}-1}{x+t}}\;\mathrm {d} t}$.
4. Montrer que ${\displaystyle g}$ est définie et continue sur ${\displaystyle \left[0,+\infty \right[}$.
5. Déduire des questions précédentes l'équivalent suivant en ${\displaystyle 0}$ : ${\displaystyle f(x)\sim _{0}-\ln x}$.