Choix des coordonnées

${\displaystyle \epsilon }$ : Espace affine (espace des points)
E : Espace vectoriel associé (espace des vecteurs)

Milieu continu à deux instant t0 et t1

On définit le domaine ${\displaystyle D_{0}}$ occupé par le milieu continu à l’instant 0 avec une répartition continue de matière à l’intérieur.
Bord de ${\displaystyle D_{0}}$ : surface ${\displaystyle \Sigma _{0}}$
Bort de ${\displaystyle D_{t}}$ : surface ${\displaystyle \Sigma _{t}}$
Dans l’espace des points ${\displaystyle \epsilon }$, on peut choisir une origine O. Les points ${\displaystyle M_{0}}$ de ${\displaystyle D_{0}}$ sont déterminés par les composantes ${\displaystyle X_{1}}$, ${\displaystyle X_{2}}$ et ${\displaystyle X_{3}}$ du vecteur ${\displaystyle \textstyle {{\vec {X}}={\overrightarrow {OM_{0}}}}}$ dans la base ${\displaystyle {\vec {e_{1}}}}$, ${\displaystyle {\vec {e_{2}}}}$ et ${\displaystyle {\vec {e_{3}}}}$ choisie orthonormée en général.
À l’instant t, le point ${\displaystyle M_{0}}$ de ${\displaystyle D_{0}}$ est devenu un point M de ${\displaystyle D_{t}}$ déterminé par les composantes ${\displaystyle x_{1}}$, ${\displaystyle x_{2}}$ et ${\displaystyle x_{3}}$ du vecteur ${\displaystyle \textstyle {{\vec {x}}={\overrightarrow {OM}}}}$.

${\displaystyle {\vec {X}}=X_{1}{\vec {e_{1}}}+X_{2}{\vec {e_{2}}}+X_{3}{\vec {e_{3}}}\qquad$ ;\qquad {\vec {x}}=x_{1}{\vec {e_{1}}}+x_{2}{\vec {e_{2}}}+x_{3}{\vec {e_{3}}}}

Connaître le mouvement d’un milieu continu, c’est d’être capable d’exprimer la position du point M en fonction de sa position initiale ${\displaystyle M_{0}}$ et du temps t.
${\displaystyle x_{1}=\phi _{1}(X_{1},X_{2},X_{3},t)}$
${\displaystyle x_{2}=\phi _{2}(X_{1},X_{2},X_{3},t)\,\qquad ou\qquad {\vec {x}}={\vec {\phi }}({\vec {X}},t)}$
${\displaystyle x_{3}=\phi _{3}(X_{1},X_{2},X_{3},t)}$
Connaître le mouvement, c’est connaître la fonction ${\displaystyle \phi }$ qui permet de faire la transformation entre les deux états étudiés (${\displaystyle D_{0}}$ et ${\displaystyle D_{t}}$).

Hypothèses

• Un point M est issu d’un seul point ${\displaystyle M_{0}}$.

On appelle trajectoire la courbe suivie par le point ${\displaystyle M_{0}}$ au cours du temps.

• On suppose que les trajectoires ne se mélangent pas.
• On suppose que la fonction ${\displaystyle \phi }$ est continue et dérivable au moins 2 fois par rapport au temps. (→ permet d'introduire la vitesse et l'accélération en termes de fonction continu)
• On suppose que la fonction ${\displaystyle \phi }$ est inversible par rapport à X. À tout instant t, ${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {\phi }}({\vec {X}},t)}$ peut s’inverser en ${\displaystyle {\vec {X}}={\vec {\psi }}({\vec {x}},t)}$.

Connaître le mouvement peut se regarder d’une deuxième façon : c’est d’être capable de dire où se trouvait à l’instant 0 la particule qui se trouve en x à l’instant t.
Les 4 variables (${\displaystyle X_{1}}$, ${\displaystyle X_{2}}$, ${\displaystyle X_{3}}$, t) sont dites variables de Lagrange. C’est le choix de variable que l’on fait quand on exprime le mouvement de ${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {\phi }}({\vec {X}},t)}$.
Les 4 variables (${\displaystyle x_{1}}$, ${\displaystyle x_{2}}$, ${\displaystyle x_{3}}$, t) sont dites variables d'Euler. C’est le choix de variable que l’ont fait quand on veut exprimer le mouvement de ${\displaystyle {\vec {X}}={\vec {\psi }}({\vec {x}},t)}$
.
Exemple : La vitesse d’un point M peut être exprimée en fonction de ${\displaystyle M_{0}}$ et de t (variables de Lagrange) ou en fonction de M et de t (variables d’Euler).
Un solide rigide est un milieu continu particulier. Il garde toujours la même forme. Son champ des vitesses s’exprime facilement en variables d’Euler.
Rappel : ${\displaystyle {\overrightarrow {V(M/T_{0})}}={\overrightarrow {V(G/T_{0})}}+{\overrightarrow {\Omega (S/T_{0})}}\wedge {\overrightarrow {GM}}}$ avec ${\displaystyle T_{0}=(O;{\vec {e}}_{1};{\vec {e}}_{2};{\vec {e}}_{3})}$ (Pour un solide indéformable).
${\displaystyle {\overrightarrow {V(G/T_{0})}}}$ et ${\displaystyle {\overrightarrow {\Omega (S/T_{0})}}}$ : ne dépendent que du temps.
${\displaystyle {\overrightarrow {GM}}}$ : Position actuelle à l’instant t.
Notation :

${\displaystyle y_{1}(t)}$	${\displaystyle y_{2}(t)}$	${\displaystyle y_{3}(t)}$	coordonnée du centre d’inertie
${\displaystyle \omega _{1}(t)}$	${\displaystyle \omega _{2}(t)}$	${\displaystyle \omega _{3}(t)}$	composantes du vecteur rotation instantané
${\displaystyle {\frac {dy_{1}(t)}{dt}}}$	${\displaystyle {\frac {dy_{2}(t)}{dt}}}$	${\displaystyle {\frac {dy_{3}(t)}{dt}}}$	composantes de la vitesse de G

La vitesse du point M a pour composantes :

${\displaystyle {\begin{matrix}V_{1}(x_{1},x_{2},x_{3},t)={\frac {dy_{1}(t)}{dt}}+\omega _{2}(t)\left[x_{3}-y_{3}(t)\right]-\omega _{3}(t)\left[x_{2}-y_{2}(t)\right]\\V_{2}(x_{1},x_{2},x_{3},t)={\frac {dy_{2}(t)}{dt}}+\omega _{3}(t)\left[x_{1}-y_{1}(t)\right]-\omega _{1}(t)\left[x_{3}-y_{3}(t)\right]\\V_{3}(x_{1},x_{2},x_{3},t)={\frac {dy_{3}(t)}{dt}}+\omega _{1}(t)\left[x_{2}-y_{2}(t)\right]-\omega _{2}(t)\left[x_{1}-y_{1}(t)\right]\end{matrix}}}$

Ou encore

${\displaystyle {\vec {V}}({\vec {x}},t)={\frac {d{\vec {y}}(t)}{dt}}+{\vec {\omega }}\wedge \left[{\vec {x}}-{\vec {y}}(t)\right]}$

Comme on prend toujours le même repère ${\displaystyle T_{0}}$, on ne le précise pas mais on précise bien les 4 variables ${\displaystyle x_{1}}$, ${\displaystyle x_{2}}$, ${\displaystyle x_{3}}$ et t.

Vitesse

Expression de la vitesse en variable d’Euler

Le vecteur ${\displaystyle {\frac {\partial {\vec {\phi }}({\vec {X}},t)}{\partial t}}}$ peut être ré exprimé en varaiable d’Euler puisque ${\displaystyle {\vec {X}}={\vec {\psi }}({\vec {x}},t)}$. En faisant le remplacement de ${\displaystyle {\vec {X}}}$ par ${\displaystyle {\vec {\psi }}({\vec {x}},t)}$ on obtient :

${\displaystyle {\vec {V}}({\vec {X}},t)={\frac {\partial {\vec {\phi }}({\vec {X}},t)}{\partial t}}\qquad ->\qquad {\vec {V}}({\vec {x}},t)={\frac {\partial {\vec {\phi }}({\vec {\psi }}({\vec {x}},t),t)}{\partial t}}}$

Méthode pratique pour exprimer la vitesse en variable d’Euler

1. Dérivée partiellement par rapport au temps la position ${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {\phi }}({\vec {X}},t)}$. On obtient un vecteur ${\displaystyle {\frac {\partial {\vec {\phi }}({\vec {X}},t)}{\partial t}}}$.
2. Inverser ${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {\phi }}({\vec {X}},t)}$ en ${\displaystyle {\vec {X}}={\vec {\psi }}({\vec {x}},t)}$.
3. Remplacer ${\displaystyle {\vec {X}}}$ par ${\displaystyle {\vec {\psi }}({\vec {x}},t)}$ dans ${\displaystyle {\frac {\partial {\vec {\phi }}({\vec {X}},t)}{\partial t}}}$.

Exemple - Dilatation d'une boule

Représentation d'une boule qui se dilate

Facteur de dilatation ${\displaystyle \lambda (t)}$ supposé dérivable et positif.
Le vecteur ${\displaystyle {\vec {x}}}$ est définit par ${\displaystyle {\vec {x}}({\vec {X}},t)=\lambda (t){\vec {X}}}$.
À l'instant t=0, ${\displaystyle {\vec {x}}}$ est en ${\displaystyle {\vec {X}}}$ (position initiale) ce qui implique que ${\displaystyle \lambda (0)=1}$.

1. ${\displaystyle {\frac {\partial {\vec {\phi }}({\vec {X}},t)}{\partial t}}={\frac {d\lambda (t)}{dt}}{\vec {X}}}$
2. ${\displaystyle {\vec {x}}({\vec {X}},t)={\vec {\phi }}({\vec {X}},t)=\lambda (t){\vec {X}}\quad \to \quad {\vec {X}}={\frac {1}{\lambda (t)}}{\vec {x}}}$
3. ${\displaystyle {\frac {\partial {\vec {\phi }}({\vec {X}},t)}{\partial t}}={\frac {d\lambda (t)}{dt}}{\vec {X}}={\frac {d\lambda (t)}{dt}}{\frac {1}{\lambda (t)}}{\vec {x}}}$

La vitesse est donc égale à : ${\displaystyle {\vec {V}}({\vec {x}},t)={\frac {d\lambda (t)}{dt}}{\frac {1}{\lambda (t)}}{\vec {x}}}$ (vitesse colinéaire à ${\displaystyle {\vec {x}}\to }$ déformation radiale)

Accélération

Dérivée particulaire d’une fonction

Calcul de la dérivée particulaire d’une fonction

D’après le théorème de la dérivée d’une fonction composée, on peut écrire :

${\displaystyle \underbrace {\frac {dh}{dt}} _{\text{derivee particulaire}}=\underbrace {\frac {\partial h}{\partial t}} _{\text{derivee partielle}}+\underbrace {{\frac {\partial h}{\partial x^{1}}}{\frac {\partial x^{1}}{\partial t}}+{\frac {\partial h}{\partial x^{2}}}{\frac {\partial x^{2}}{\partial t}}+{\frac {\partial h}{\partial x^{3}}}{\frac {\partial x^{3}}{\partial t}}} _{{\text{dependance implicite de}}\ x\ {\text{par rapport au temps}}}}$

Dérivée particulaire d’un vecteur

Composantes de ${\displaystyle {\frac {d{\vec {w}}}{dt}}}$

La différenciation du vecteur ${\displaystyle {\vec {w}}}$ se fait, selon les coordonnées choisies :

${\displaystyle d{\vec {w}}={\frac {\partial {\vec {w}}}{\partial t}}dt+{\frac {\partial {\vec {w}}}{\partial x_{1}}}dx_{1}+{\frac {\partial {\vec {w}}}{\partial x_{2}}}dx_{2}+{\frac {\partial {\vec {w}}}{\partial x_{3}}}dx_{3}}$

En divisant par ${\displaystyle dt}$, on trouve :

${\displaystyle {\frac {d{\vec {w}}}{dt}}={\frac {\partial {\vec {w}}}{\partial t}}+{\frac {dx_{1}}{dt}}{\frac {\partial {\vec {w}}}{\partial x_{1}}}+{\frac {dx_{2}}{dt}}{\frac {\partial {\vec {w}}}{\partial x_{2}}}+{\frac {dx_{3}}{dt}}{\frac {\partial {\vec {w}}}{\partial x_{3}}}}$

Soit :

${\displaystyle {\frac {d{\vec {w}}}{dt}}={\frac {\partial {\vec {w}}}{\partial t}}+({\vec {v}}\cdot {\overrightarrow {\textrm {grad}}}){\vec {w}}}$

Ligne de courant et trajectoires

Un mouvement de milieu continu est donné.

Si l’on fixe une particule , la trajectoire au sens de la cinématique est exactement la trajectoire vue comme trajectoire du champ eulérien des vitesses au sens des systèmes dynamiques, le paramètre étant ici le temps .

Si l’on fixe un instant , la position de à cet instant est . La trajectoire de au sens des systèmes dynamiques, pour le champ eulérien des vitesses à l’instant , est une courbe qui peut être sans rapport avec le mouvement de

C’est ainsi qu’apparait la notion de ligne de courant (on devrait préciser : à l’instant ). Pour ces courbes, étant fixé, le paramètre n’a aucun rapport avec le temps. Voici un exemple (le détail des calculs n’a pas d’importance pour l’instant).

est un carré du plan, le mouvement est défini pour  par

De la relation on déduit le champ des vitesses

La figure suivante représente les pour à avec un pas . Pour , on obtient le carré initial (en bas), et l’on suit le mouvement d’un réseau de 36 points, où sont représentés les vecteurs . Les lignes de courant à un instant fixé sont les courbes d’équation

La figure suivante représente des lignes de courant à l’instant . Le mouvement n’est pas stationnaire, les trajectoires sont distinctes des lignes de courant. Elles sont rectilignes.

Dans le cas où le champ des vitesses à  fixé n’admet pas de solution exacte facilement exprimable, ou si le champ n’est pas défini analytiquement mais en des points donnés d’un maillage numérique ou expérimental, il faut procéder à une résolution numérique et donc commencer par discrétiser les équations... Dans ce cas, le résultat n’est généralement pas une expression analytique ou paramétrique des lignes de courant, mais juste leur tracé comme sur la figure ci-dessous qui représente quelques lignes de courant (les courbes en rouge) du champ de vitesse à un instant  d’un jet plan en impact sur une plaque perpendiculaire au jet (les vecteurs vitesses - un peu flous - sont colorées en fonction de leur norme).

Notation pour les dérivées