Lois de probabilité continues/Loi exponentielle

Soit $\lambda$ un nombre strictement positif.

On dira que $X$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ si sa fonction densité de probabilité $f$ est définie par :

$f(t)={\begin{cases}0,&{\mbox{si }}t<0\\\lambda e^{-\lambda t},&{\mbox{si }}0\leqslant t\end{cases}}$

Vérifions tout d'abord que $f$ est bien une fonction densité de probabilité.

$\lambda$ étant strictement positif et la fonction exponentielle étant strictement positive, $\lambda e^{-\lambda t}$ sera positive pour tout $t$ .

De plus :

$\lim _{x\to -\infty }\int _{x}^{0}f(t)\,\mathrm {d} t+\lim _{y\to +\infty }\int _{0}^{y}f(t)\,\mathrm {d} t=\lim _{x\to -\infty }\int _{x}^{0}0\,\mathrm {d} t+\lim _{y\to +\infty }\int _{0}^{y}\lambda e^{-\lambda t}\,\mathrm {d} t=0+\lim _{y\to +\infty }\left[-e^{-\lambda t}\right]_{0}^{y}=\lim _{y\to +\infty }\left[-e^{-\lambda y}+e^{0}\right]=0+1=1$

Calcul d'une probabilité

La loi exponentielle permet principalement de calculer des probabilités en relation avec la durée de vie de phénomènes qui ne vieillissent pas, comme la décomposition d'éléments radio-actifs.

Une primitive de la fonction $t\mapsto \lambda e^{-\lambda t}$ étant la fonction $t\mapsto -e^{-\lambda t}$ , nous n'avons aucune difficulté pour calculer une probabilité. Par exemple, si $X$ est une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ , nous avons :

$a\geqslant 0$ entraîne : $P(X<a)=\int _{0}^{a}\lambda e^{-\lambda t}\,\mathrm {d} t=\left[-e^{-\lambda t}\right]_{0}^{a}=-e^{-\lambda a}+e^{-\lambda \times 0}=1-e^{-\lambda a}$

Nous en déduisons immédiatement :

$a\geqslant 0$ entraîne : $P(X\geqslant a)=1-P(X<a)=1-\left(1-e^{-\lambda a}\right)=e^{-\lambda a}$

Si $a$ et $b$ sont deux nombres positifs tels que $a<b$ , nous en déduisons aussi :

$P(a<X<b)=P(X<b)-P(X<a)=\left(1-e^{-\lambda b}\right)-\left(1-e^{-\lambda a}\right)=e^{-\lambda a}-e^{-\lambda b}$

Espérance de loi exponentielle

Proposition

L'espérance de la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ est :

E(X)={\frac {1}{\lambda }}

.

Démonstration

L’espérance de la loi exponentielle est donnée par :

E(X)=\lim _{x\to -\infty }\int _{x}^{0}tf(t)\,\mathrm {d} t+\lim _{y\to +\infty }\int _{0}^{y}tf(t)\,\mathrm {d} t=\lim _{y\to +\infty }\int _{0}^{y}t\lambda e^{-\lambda t}\,\mathrm {d} t

.

Un petit changement de variable $s=\lambda t$ , $z=\lambda y$ permet de simplifier au préalable cette expression :

E(X)=\lim _{y\to +\infty }\int _{0}^{y}t\lambda e^{-\lambda t}\,\mathrm {d} t={\frac {1}{\lambda }}\lim _{z\to +\infty }\int _{0}^{z}s\mathrm {e} ^{-s}\,\mathrm {d} s

.

Faisons ensuite une intégration par parties.

Nous poserons :

{\begin{cases}u(s)=s\\v'(s)=\mathrm {e} ^{-s}\end{cases}}

.

Nous en déduisons $u'$ et un choix de $v$ :

{\begin{cases}u'(s)=1\\v(s)=-\mathrm {e} ^{-s}\end{cases}}

Nous aurons donc :

{\begin{aligned}\int _{0}^{z}s\mathrm {e} ^{-s}\,\mathrm {d} s&=\left[u(s)\times v(s)\right]_{0}^{z}-\int _{0}^{z}u'(s)\times v(s)\,\mathrm {d} s\\&=\left[-s\mathrm {e} ^{-s}\right]_{0}^{z}+\int _{0}^{z}\mathrm {e} ^{-s}\,\mathrm {d} s\\&=-z\mathrm {e} ^{-z}+0+\left[-\mathrm {e} ^{-s}\right]_{0}^{z}\\&=-z\mathrm {e} ^{-z}-\mathrm {e} ^{-z}+1,\end{aligned}}

puis

\lim _{z\to +\infty }\int _{0}^{z}s\mathrm {e} ^{-s}\,\mathrm {d} s=\lim _{z\to +\infty }\left(-z\mathrm {e} ^{-z}-\mathrm {e} ^{-z}+1\right)=1

et enfin :

E(X)={\frac {1}{\lambda }}\lim _{z\to +\infty }\int _{0}^{z}s\mathrm {e} ^{-s}\,\mathrm {d} s={\frac {1}{\lambda }}

.

Une propriété remarquable

Nous avons la propriété suivante :

Propriété

Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda >0$ .

Soient $t$ et $\theta$ deux réels positifs.

Alors :

$P_{(X\geqslant t)}(X\geqslant t+\theta )=P(X\geqslant \theta )$

Démonstration.

$P_{(X\geqslant t)}(X\geqslant t+\theta )$ est une probabilité conditionnelle. Par définition, nous aurons donc :

${\begin{aligned}P_{(X\geqslant t)}(X\geqslant t+\theta )&={\frac {P\left[(X\geqslant t)\cap (X\geqslant t+\theta )\right]}{P(X\geqslant t)}}\\&={\frac {P(X\geqslant t+\theta )}{P(X\geqslant t)}}\\&={\frac {e^{-\lambda (t+\theta )}}{e^{-\lambda t}}}\\&=e^{-\lambda \theta }\\&=P(X\geqslant \theta )\end{aligned}}$

Cette propriété exprime le fait que la durée de vie d'un phénomène qui ne vieillit pas est indépendante de l'instant à partir duquel on mesure cette durée de vie. Par exemple, si un corps radio-actif a une probabilité égale à 0,25 de se désintégrer dans les 1000 années qui viennent et si dans 1500 ans, par exemple, il ne s'est toujours pas désintégré, alors la probabilité qu'il se désintègre dans les 1000 années qui suivent cette période sera toujours de 0,25.

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