Limites d'une fonction/Limite infinie en l'infini

Introduction

Prenons l'exemple de la fonction carrée, dont la courbe est une parabole.

On constate que quand x devient très grand (on dit que x tend vers plus l'infini), son carré x² devient également très grand (il tend vers plus l'infini également). On dit alors que x² a pour limite + ∞ quand x tend vers + ∞.

On le note $\lim _{x\to +\infty }x^{2}=+\infty$ .

De la même façon, quand x devient très petit (on dit que x tend vers moins l'infini), son carré x² devient très grand (il tend vers plus l'infini). On dit alors que x² a pour limite + ∞ quand x tend vers - ∞.

On le note $\lim _{x\to -\infty }x^{2}=+\infty$ .

Définition heuristique

Définition

Une fonction f tend vers $+\infty$ quand x tend vers $+\infty$ si et seulement si,

en prenant x suffisamment grand, on peut rendre f(x) aussi grand que l’on veut.

On note alors $\lim _{x\to +\infty }f(x)=+\infty$

Exemples

Donner sans démonstration les limites en $+\infty$ des fonctions suivantes :

$f_{1}(x)=3x^{2}-2x+5$
$f_{2}(x)=-3x^{2}-2x+5$
$f_{3}(x)={\frac {2x+5}{3x^{2}-2x+5}}$

Solution

La courbe de f₁ est une parabole « tournée vers le haut ». On a alors $\lim _{x\to +\infty }f_{1}(x)=+\infty$ .
La courbe de f₂ est une parabole « tournée vers le bas ». On a alors $\lim _{x\to +\infty }f_{2}(x)=-\infty$
Pour cette question, il faut un peu se fier à son instinct.
- La courbe de $x\mapsto 3x^{2}-2x+5$ est une parabole tournée vers le haut
- La courbe de $x\mapsto 2x+5$ est une droite, représentant une fonction croissante

On divise ainsi un nombre qui grandit par un autre nombre qui grandit. Ce qu’il faut sentir, c’est que la parabole « montant plus vite » que la droite, le dénominateur va tendre vers +∞ beaucoup plus vite que le numérateur. Globalement, on va donc retrouver

\lim _{x\to +\infty }f_{3}(x)=0

.

Limites des fonctions de référence

Théorème

Si n est un entier >0

$\lim _{x\to +\infty }x^{n}=+\infty$

Si n est un entier pair >0

$\lim _{x\to -\infty }x^{n}=+\infty$

Si n est un entier impair >0

$\lim _{x\to -\infty }x^{n}=-\infty$

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