Limites d'une fonction/Limite des polynômes et fractions rationnelles à l'infini

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Remarque : Les théorèmes qui suivent ne figurent pas au programme de toutes les classes de terminales, voir les fiches d'exercices pour résoudre le problème sans les théorèmes.

Cas des polynômes

Théorème

La limite d'un polynôme en $-\infty$ et en $+\infty$ est celle de son terme de plus haut degré.

Exemple

Voir les exercices sur : Limites de polynômes en l'infini.

Déterminer les limites aux infinis des fonctions suivantes :

$g:x\mapsto -x^{2}+x+1$
$h:x\mapsto -2x^{3}+4x-1$
$k:x\mapsto {\frac {1}{2}}x^{3}-x+1$
$l:x\mapsto -{\frac {1}{3}}x^{7}+x^{3}+x^{2}$

Solution

1. Le terme dominant de g est $-x^{2}$

$\lim _{x\to +\infty }-x^{2}=-\infty$ donc $\lim _{x\to +\infty }g(x)=-\infty$
$\lim _{x\to -\infty }-x^{2}=-\infty$ donc $\lim _{x\to -\infty }g(x)=-\infty$

2. Le terme dominant de h est $-2x^{3}$

$\lim _{x\to +\infty }-2x^{3}=-\infty$ donc $\lim _{x\to +\infty }h(x)=-\infty$
$\lim _{x\to -\infty }-2x^{3}=+\infty$ donc $\lim _{x\to -\infty }h(x)=+\infty$

3. Le terme dominant de k est ${\frac {1}{2}}x^{3}$

$\lim _{x\to +\infty }{\frac {1}{2}}x^{3}=+\infty$ donc $\lim _{x\to +\infty }k(x)=+\infty$
$\lim _{x\to -\infty }{\frac {1}{2}}x^{3}=-\infty$ donc $\lim _{x\to -\infty }k(x)=-\infty$

4. Le terme dominant de l est $-{\frac {1}{3}}x^{7}$

$\lim _{x\to +\infty }-{\frac {1}{3}}x^{7}=-\infty$ donc $\lim _{x\to +\infty }l(x)=-\infty$
$\lim _{x\to -\infty }-{\frac {1}{3}}x^{7}=+\infty$ donc $\lim _{x\to -\infty }l(x)=+\infty$

Cas des fractions rationnelles

Définition

Une fraction rationnelle (ou fonction rationnelle) est un quotient de polynômes.

Théorème

La limite d'une fraction rationnelle (ou fonction rationnelle) en $-\infty$ et en $+\infty$ est celle du quotient des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur.

Exemple

Voir les exercices sur : Limites de fractions rationnelles.

Déterminer les limites quand x tend vers $+\infty$ et quand x tend vers $-\infty$ des fractions rationnelles suivantes en précisant la forme indéterminée rencontrée.

$f_{1}(x)={\frac {-5x^{3}+2x^{2}-x+7}{3x^{2}+1}}$
$f_{2}(x)={\frac {x^{4}+2}{x^{3}+x}}$
$f_{3}(x)={\frac {-{\frac {1}{3}}x^{2}+5x-4}{x^{5}+1}}$
$f_{4}(x)={\frac {5x^{2}}{x^{2}+1}}$

Solution

Question 1

Le terme dominant du numérateur de ƒ₁ est -5x³, donc $\lim _{x\to +\infty }-5x^{3}+2x^{2}-x+7=-\infty$
Le terme dominant du dénominateur de ƒ₁ est 3x², donc $\lim _{x\to +\infty }3x^{2}+1=+\infty$
En $+\infty$ , on est donc face à la forme indéterminée ${\frac {-\infty }{+\infty }}$
On considère alors le quotient des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur de ƒ₁ : ${\frac {-5x^{3}}{3x^{2}}}=-{\frac {5}{3}}x$
On a $\lim _{x\to +\infty }-{\frac {5}{3}}x=-\infty$ , donc $\lim _{x\to +\infty }f_{1}(x)=-\infty$
De même, on aboutit à $\lim _{x\to -\infty }f_{1}(x)=+\infty$

Question 2

Le terme dominant du numérateur de ƒ₂ est x⁴, donc $\lim _{x\to +\infty }x^{4}+2=+\infty$
Le terme dominant du dénominateur de ƒ₂ est x³, donc $\lim _{x\to +\infty }x^{3}+x=+\infty$
En $+\infty$ , on est donc face à la forme indéterminée ${\frac {+\infty }{+\infty }}$
On considère alors le quotient des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur de ƒ₂ : ${\frac {x^{4}}{x^{3}}}=x$
On a $\lim _{x\to +\infty }x=+\infty$ , donc $\lim _{x\to +\infty }f_{2}(x)=+\infty$
De même, on aboutit à $\lim _{x\to -\infty }f_{2}(x)=-\infty$

Question 3

Le terme dominant du numérateur de ƒ₃ est $-{\frac {1}{3}}x^{2}$ , donc $\lim _{x\to +\infty }-{\frac {1}{3}}x^{2}+5x-4=-\infty$
Le terme dominant du dénominateur de ƒ₃ est x⁵, donc $\lim _{x\to +\infty }x^{5}+1=+\infty$
En $+\infty$ , on est donc face à la forme indéterminée ${\frac {-\infty }{+\infty }}$
On considère alors le quotient des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur de ƒ₃ : ${\frac {-{\frac {1}{3}}x^{2}}{x^{5}}}=-{\frac {1}{3x^{3}}}$
On a $\lim _{x\to +\infty }-{\frac {1}{3x^{3}}}=0$ , donc $\lim _{x\to +\infty }f_{3}(x)=0$
De même, on aboutit à $\lim _{x\to -\infty }f_{3}(x)=0$

Question 4

Le terme dominant du numérateur de ƒ₄ est 5x², donc $\lim _{x\to +\infty }5x^{2}=+\infty$
Le terme dominant du dénominateur de ƒ₄ est x², donc $\lim _{x\to +\infty }x^{2}+1=+\infty$
En $+\infty$ , on est donc face à la forme indéterminée ${\frac {+\infty }{+\infty }}$
On considère alors le quotient des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur de ƒ₄ : ${\frac {5x^{2}}{x^{2}}}=5$
On a $\lim _{x\to +\infty }5=5$ , donc $\lim _{x\to +\infty }f_{4}(x)=5$
De même, on aboutit à $\lim _{x\to -\infty }f_{4}(x)=5$

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