Limites d'une fonction/Fiche/Méthodes pour lever une indétermination

Fiche mémoire sur la levée des indéterminations

Pour lever une indétermination, il existe de nombreuses façons de procéder. Voici les plus classiques. Certains cas nécessiteront peut-être d'appliquer successivement plusieurs manipulations pour réussir à lever l'indétermination.

Quotient de polynômes

En +∞ ou -∞

L'indétermination est de forme ${\frac {\infty }{\infty }}$

On factorise le numérateur et le dénominateur par leur terme de plus haut degré
On simplifie ce qui peut l'être

Exemple

Forme indéterminée en +∞ et -∞ ${\frac {-5x^{3}+2x^{2}-x+7}{3x^{2}+1}}={\frac {\displaystyle {x^{3}\left(-5+{\frac {2x^{2}}{x^{3}}}-{\frac {x}{x^{3}}}+{\frac {7}{x^{3}}}\right)}}{\displaystyle {x^{2}\left(3+{\frac {1}{x^{2}}}\right)}}}=x\times {\frac {\displaystyle {-5+{\frac {2}{x}}-{\frac {1}{x^{2}}}+{\frac {7}{x^{3}}}}}{\displaystyle {3+{\frac {1}{x^{2}}}}}}$

En $a\in \mathbb {R}$

L'indétermination est de forme ${\frac {0}{0}}$

Il existe (au moins) une racine commune au polynôme du numérateur et à celui du dénominateur.
On factorise ces deux fonctions polynomiales.
On simplifie les termes communs.
L'indétermination peut avoir disparu.

Exemple

Forme indéterminée en 1 ${\frac {x^{2}-2x+1}{x^{2}+x-2}}={\frac {(x-1)^{2}}{(x-1)(x+2)}}={\frac {x-1}{x+2}}$

Quotient de fonctions quelconques en +∞ ou -∞

Si, au numérateur et au dénominateur, une fonction est prépondérante sur les autres, on la met en facteur. Ceci fonctionne souvent lorsque des fonctions polynomiales sont combinées de manière simple avec des racines carrées, des logarithmes et des exponentielles.

Exemple

Formes indéterminées en +∞ $x-2{\sqrt {x}}=x\left(1-{\frac {2}{\sqrt {x}}}\right)$

${\frac {e^{2x}-x^{2}}{2e^{2x}+e^{-x}}}={\frac {e^{2x}(1-x^{2}e^{-2x})}{e^{2x}(2+e^{-3x})}}={\frac {1-x^{2}e^{-2x}}{2+e^{-3x}}}$

Différences de racines carrées en +∞ ou -∞

On utilise l'expression conjuguée pour pouvoir combiner le contenu des racines.

Exemple

Forme indéterminée en +∞ ${\sqrt {x^{2}+2}}-{\sqrt {x^{2}-1}}={\frac {3}{{\sqrt {x^{2}+2}}+{\sqrt {x^{2}-1}}}}$

Taux de variation en $a\in \mathbb {R}$

Certaines limites ont la forme d'un nombre dérivé d'une certaine fonction ƒ en un point donné. On peut les reconnaître en gardant en mémoire la définition du nombre dérivé d'une fonction ƒ en a : $f'(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}$ ou $f'(a)=\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}$

En définitive, cette possibilité de lever une indétermination est à examiner lorsqu'on a un dénominateur de la forme $x-a$ pour une indétermination en a.

Exemple

Forme indéterminée en 0 ${\frac {\sin(x)}{x}}={\frac {\sin(x)-\sin(0)}{x-0}}$ donc $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=\sin '(0)=\cos(0)=1$

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Quotient de polynômes

En +∞ ou -∞

En a ∈ R {\displaystyle a\in \mathbb {R} }

Quotient de fonctions quelconques en +∞ ou -∞

Différences de racines carrées en +∞ ou -∞

Taux de variation en a ∈ R {\displaystyle a\in \mathbb {R} }

En $a\in \mathbb {R}$

Taux de variation en $a\in \mathbb {R}$