1. On peut aisément se convaincre que la fonction ${\displaystyle \textstyle x\mapsto x^{3}}$ est croissante, et même strictement croissante pour x > 0. Ainsi, rien n'arrête sa croissance, et plus x est grand, plus la valeur de cette fonction l'est. Quand x devient infini, x³ devient infini, par conséquent :

${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }x^{3}=+\infty }$.

Par les mêmes arguments,

${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }3x=+\infty }$.

En revanche, la fonction ${\displaystyle \textstyle x\mapsto 5}$ est une fonction constante : sa valeur ne dépend pas de x. Aussi grand soit-il, cette fonction a toujours pour valeur 5, même lorsque x devient infini. Par conséquent :

${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }5=5}$

Seulement nous sommes face à un problème si on essaie de trouver la limite du polynôme par cette méthode : en effet, nous serions amenés à « soustraire l'infini à l'infini », opération qui n'a pas de sens (et ne donne surtout pas zéro, comme nous le verrons). On parle d'« indétermination » de la limite en +∞.

2. Le terme de plus haut facteur dans ƒ : ${\displaystyle f(x)=x^{3}-3x+5}$ est « x³, nous allons donc le mettre en facteur :

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=x^{3}-3x+5\\\ &=x^{3}\left(1-{\frac {3x}{x^{3}}}+{\frac {5}{x^{3}}}\right)\\\ &=x^{3}\left(1-3{\frac {1}{x^{2}}}+5{\frac {1}{x^{3}}}\right)\end{aligned}}}$

3. Comme vu dans la première question :

${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }x^{3}=+\infty }$

En revanche, lorsque x → ∞, 1/x² → 0 et 1/x³ → 0 donc :

${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\left(1-3{\frac {1}{x^{2}}}+5{\frac {1}{x^{3}}}\right)=1-0+0=1}$

Nous avons ainsi levé l'indétermination, puisque la limite est clairement :

${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }f\left(x\right)=+\infty }$

Cette méthode (factoriser pour lever l'indétermination) est à bien connaître, puisqu'elle permet toujours de résoudre le problème pour les polynômes.

Nous calculons les limites en ±∞ :

1. ${\displaystyle g(x)=-x^{2}+x+1=-x^{2}\left(1-{\frac {1}{x}}-{\frac {1}{x^{2}}}\right)}$

Ainsi :

${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }g\left(x\right)=-\infty }$ ${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }g\left(x\right)=-\infty }$

2. ${\displaystyle h(x)=-2x^{3}+4x-1=-2x^{3}\left(1-{\frac {4x}{2x^{3}}}+{\frac {1}{2x^{3}}}\right)=-2x^{3}\left(1-2{\frac {1}{x^{2}}}+{\frac {1}{2}}{\frac {1}{x^{3}}}\right)}$

Ainsi :

${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }h\left(x\right)=-\infty }$ ${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }h\left(x\right)=+\infty }$

3. ${\displaystyle k(x)={\frac {1}{2}}x^{3}-x+1={\frac {1}{2}}x^{3}\left(1-2{\frac {1}{x^{2}}}+2{\frac {1}{x^{3}}}\right)}$

Ainsi :

${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }k\left(x\right)=+\infty }$ ${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }k\left(x\right)=-\infty }$

4. ${\displaystyle k(x)=-{\frac {1}{3}}x^{7}+x^{3}+x^{2}=-{\frac {1}{3}}x^{7}\left(1-3{\frac {1}{x^{4}}}-3{\frac {1}{x^{5}}}\right)}$

Ainsi :

${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }k\left(x\right)=-\infty }$ ${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }k\left(x\right)=+\infty }$