Limites d'une fonction/Exercices/Limites de fractions rationnelles

Exemple

Soit f la fonction définie sur $\mathbb {R}$ par pour tout x $\in \mathbb {R} ,~f(x)={\frac {x^{2}-3}{5x^{2}+1}}$

On désire déterminer la limite de f quand x tend vers $+\infty$ .

Problématique

On a :

$\lim _{x\to +\infty }(x^{2}-3)=\ldots {\textrm {~et~}}\lim _{x\to +\infty }(5x^{2}+1)=\ldots$

donc on a une forme indéterminée … qui peut donner n’importe quel résultat selon les cas.

Définition

Une fraction rationnelle (ou fonction rationnelle) est un quotient de polynômes.

Résolution du problème

On a donc ci-dessus un exemple de fraction rationnelle.

Pour x différent de 0 , on a :

$f(x)={\frac {x^{2}(\ldots )}{x^{2}(\ldots )}}={\frac {\ldots }{\ldots }}$

On a les limites suivantes :

$\lim _{x\to +\infty }(\ldots )=\ldots {\textrm {~et~}}\lim _{x\to +\infty }(\ldots )=\ldots {\textrm {~donc~}}\lim _{x\to +\infty }{\frac {\ldots }{\ldots }}=\ldots$

Finalement :

$\lim _{x\to +\infty }f(x)=\ldots$

Solution du raisonnement à trous

Soit x>0.

$f(x)={\frac {\displaystyle {x^{2}\left(1-{\frac {3}{x^{2}}}\right)}}{\displaystyle {x^{2}\left(5+{\frac {1}{x^{2}}}\right)}}}={\frac {\displaystyle {1-{\frac {3}{x^{2}}}}}{\displaystyle {5+{\frac {1}{x^{2}}}}}}$

On a les limites suivantes :

$\lim _{x\to +\infty }\left(1-{\frac {3}{x^{2}}}\right)=1{\textrm {~et~}}\lim _{x\to +\infty }\left(5+{\frac {1}{x^{2}}}\right)=5{\textrm {~donc~}}\lim _{x\to +\infty }{\frac {\displaystyle {1-{\frac {3}{x^{2}}}}}{\displaystyle {5+{\frac {1}{x^{2}}}}}}={\frac {1}{5}}$

Finalement :

$\lim _{x\to +\infty }f(x)={\frac {1}{5}}$

Heuristique

$5x^{2}$ grandit 5 fois plus vite que $x^{2}$ , ce qui explique le résultat.

Théorème

Pour lever l’indétermination à l’infini dans le cas d’une fraction rationnelle, on met en facteur au numérateur et au dénominateur les termes dominants.

Exercice

Déterminer les limites quand x tend vers $+\infty$ et quand x tend vers $-\infty$ des fractions rationnelles suivantes en précisant la forme indéterminée rencontrée.

1. $f(x)={\frac {-5x^{3}+2x^{2}-x+7}{3x^{2}+1}}$

Solution

Si on essaye de calculer la limite naïvement, on trouve :

$\lim _{x\to +\infty }-5x^{3}+2x^{2}-x+7=-\infty$
$\lim _{x\to +\infty }3x^{2}+1=+\infty$

On est en présence d'une forme indéterminée ${\frac {\infty }{\infty }}$ . On utilise la méthode présentée ci-dessus en factorisant les termes dominants.

${\begin{aligned}f(x)&={\frac {-5x^{3}+2x^{2}-x+7}{3x^{2}+1}}\\&={\frac {\displaystyle {x^{3}\left(-5+{\frac {2x^{2}}{x^{3}}}-{\frac {x}{x^{3}}}+{\frac {7}{x^{3}}}\right)}}{\displaystyle {x^{2}\left(3+{\frac {1}{x^{2}}}\right)}}}\\&=x\times {\frac {\displaystyle {-5+{\frac {2}{x}}-{\frac {1}{x^{2}}}+{\frac {7}{x^{3}}}}}{\displaystyle {3+{\frac {1}{x^{2}}}}}}\\\end{aligned}}$

Limite de f en $+\infty$ $+\infty$ :
- $\lim _{x\to +\infty }{\frac {2}{x}}=0$
- $\lim _{x\to +\infty }{\frac {1}{x^{2}}}=0$
- $\lim _{x\to +\infty }{\frac {7}{x^{3}}}=0$
- $\lim _{x\to +\infty }{\frac {1}{x^{2}}}=0$
- Donc $\lim _{x\to +\infty }{\frac {\displaystyle {-5+{\frac {2}{x}}-{\frac {1}{x^{2}}}+{\frac {7}{x^{3}}}}}{\displaystyle {3+{\frac {1}{x^{2}}}}}}={\frac {-5+0-0+0}{3+0}}=-{\frac {5}{3}}$
- $\lim _{x\to +\infty }-{\frac {5}{3}}x=-\infty$

$\lim _{x\to +\infty }f(x)=-\infty$

Limite de f en $-\infty$ $-\infty$ :
- $\lim _{x\to -\infty }{\frac {2}{x}}=0$
- $\lim _{x\to -\infty }{\frac {1}{x^{2}}}=0$
- $\lim _{x\to -\infty }{\frac {7}{x^{3}}}=0$
- $\lim _{x\to -\infty }{\frac {1}{x^{2}}}=0$
- Donc $\lim _{x\to -\infty }{\frac {\displaystyle {-5+{\frac {2}{x}}-{\frac {1}{x^{2}}}+{\frac {7}{x^{3}}}}}{\displaystyle {3+{\frac {1}{x^{2}}}}}}={\frac {-5+0-0+0}{3+0}}=-{\frac {5}{3}}$
- $\lim _{x\to -\infty }-{\frac {5}{3}}x=+\infty$

$\lim _{x\to -\infty }f(x)=+\infty$

2. $f(x)={\frac {x^{4}+2}{x^{3}+x}}$

Solution

Si on essaye de calculer la limite naïvement, on trouve :

$\lim _{x\to +\infty }x^{4}+2=+\infty$
$\lim _{x\to +\infty }x^{3}+x=+\infty$

On est en présence d'une forme indéterminée ${\frac {\infty }{\infty }}$ . On utilise la méthode présentée ci-dessus en factorisant les termes dominants.

${\begin{aligned}f(x)&={\frac {x^{4}+2}{x^{3}+x}}\\&={\frac {\displaystyle {x^{4}\left(1+{\frac {2}{x^{4}}}\right)}}{\displaystyle {x^{3}\left(1+{\frac {x}{x^{3}}}\right)}}}\\&=x\times {\frac {\displaystyle {1+{\frac {2}{x^{4}}}}}{\displaystyle {1+{\frac {1}{x^{2}}}}}}\\\end{aligned}}$

Limite de f en $+\infty$ $+\infty$ :
- $\lim _{x\to +\infty }{\frac {2}{x^{4}}}=0$
- $\lim _{x\to +\infty }{\frac {1}{x^{2}}}=0$
- Donc $\lim _{x\to +\infty }{\frac {\displaystyle {1+{\frac {2}{x^{4}}}}}{\displaystyle {1+{\frac {1}{x^{2}}}}}}={\frac {1+0}{1+0}}=1$
- $\lim _{x\to +\infty }x=+\infty$

$\lim _{x\to +\infty }f(x)=+\infty$

Limite de f en $-\infty$ $-\infty$ :
- $\lim _{x\to -\infty }{\frac {2}{x^{4}}}=0$
- $\lim _{x\to -\infty }{\frac {1}{x^{2}}}=0$
- Donc $\lim _{x\to -\infty }{\frac {\displaystyle {1+{\frac {2}{x^{4}}}}}{\displaystyle {1+{\frac {1}{x^{2}}}}}}={\frac {1+0}{1+0}}=1$
- $\lim _{x\to -\infty }x=-\infty$

$\lim _{x\to -\infty }f(x)=-\infty$

3. $f(x)={\frac {-{\frac {1}{3}}x^{2}+5x-4}{x^{5}+1}}$

Solution

Si on essaye de calculer la limite naïvement, on trouve :

$\lim _{x\to +\infty }-{\frac {1}{3}}x^{2}+5x-4=-\infty$
$\lim _{x\to +\infty }x^{5}+1=+\infty$

On est en présence d'une forme indéterminée ${\frac {\infty }{\infty }}$ . On utilise la méthode présentée ci-dessus en factorisant les termes dominants.

${\begin{aligned}f(x)&={\frac {-{\frac {1}{3}}x^{2}+5x-4}{x^{5}+1}}\\&={\frac {\displaystyle {x^{2}\left(-{\frac {1}{3}}+{\frac {5x}{x^{2}}}-{\frac {4}{x^{2}}}\right)}}{\displaystyle {x^{5}\left(1+{\frac {1}{x^{5}}}\right)}}}\\&={\frac {1}{x^{3}}}\times {\frac {\displaystyle {-{\frac {1}{3}}+{\frac {5}{x}}-{\frac {4}{x^{2}}}}}{\displaystyle {1+{\frac {1}{x^{5}}}}}}\\\end{aligned}}$

Limite de f en $+\infty$ $+\infty$ :
- $\lim _{x\to +\infty }{\frac {5}{x}}=0$
- $\lim _{x\to +\infty }{\frac {4}{x^{2}}}=0$
- $\lim _{x\to +\infty }{\frac {1}{x^{5}}}=0$
- Donc $\lim _{x\to +\infty }{\frac {\displaystyle {-{\frac {1}{3}}+{\frac {5}{x}}-{\frac {4}{x^{2}}}}}{\displaystyle {1+{\frac {1}{x^{5}}}}}}={\frac {-{\frac {1}{3}}+0-0}{1+0}}=-{\frac {1}{3}}$
- $\lim _{x\to +\infty }{\frac {1}{x^{3}}}=0$

$\lim _{x\to +\infty }f(x)=0$

Limite de f en $-\infty$ $-\infty$ :
- $\lim _{x\to -\infty }{\frac {5}{x}}=0$
- $\lim _{x\to -\infty }{\frac {4}{x^{2}}}=0$
- $\lim _{x\to -\infty }{\frac {1}{x^{5}}}=0$
- Donc $\lim _{x\to -\infty }{\frac {\displaystyle {-{\frac {1}{3}}+{\frac {5}{x}}-{\frac {4}{x^{2}}}}}{\displaystyle {1+{\frac {1}{x^{5}}}}}}={\frac {-{\frac {1}{3}}+0-0}{1+0}}=-{\frac {1}{3}}$
- $\lim _{x\to -\infty }{\frac {1}{x^{3}}}=0$

$\lim _{x\to +\infty }f(x)=0$

4. $f(x)={\frac {5x^{2}}{x^{2}+1}}$

Solution

Si on essaye de calculer la limite naïvement, on trouve :

$\lim _{x\to +\infty }5x^{2}=+\infty$
$\lim _{x\to +\infty }x^{2}+1=+\infty$

On est en présence d'une forme indéterminée ${\frac {\infty }{\infty }}$ . On utilise la méthode présentée ci-dessus en factorisant les termes dominants.

${\begin{aligned}f(x)&={\frac {5x^{2}}{x^{2}+1}}\\&={\frac {5x^{2}}{\displaystyle {x^{2}\left(1+{\frac {1}{x^{2}}}\right)}}}\\&={\frac {5}{\displaystyle {1+{\frac {1}{x^{2}}}}}}\\\end{aligned}}$

Limite de f en $+\infty$ $+\infty$ :
- $\lim _{x\to +\infty }{\frac {1}{x^{2}}}=0$
- Donc $\lim _{x\to +\infty }{\frac {5}{\displaystyle {1+{\frac {1}{x^{2}}}}}}={\frac {5}{1+0}}=5$

$\lim _{x\to +\infty }f(x)=5$

Limite de f en $-\infty$ $-\infty$ :
- $\lim _{x\to -\infty }{\frac {1}{x^{2}}}=0$
- Donc $\lim _{x\to -\infty }{\frac {5}{\displaystyle {1+{\frac {1}{x^{2}}}}}}={\frac {5}{1+0}}=5$

$\lim _{x\to -\infty }f(x)=5$

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