Limite d'une fonction naturellement définie en zéro

Soit la fonction ƒ définie sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$ par pour tout ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ,~f(x)=x^{3}+2}$

1. Remplir le tableau suivant :

${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}x&1&0,1&0,01&0,001&0,000\,1\\\hline f(x)&\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \end{array}}}$

2. Si ƒ(x) s'approche de plus en plus près d'une valeur L quand x s'approche de zéro, on dit que ƒ tend vers L quand x tend vers zéro, ou que ƒ a pour limite L en zéro. Cela se note ${\displaystyle \lim _{x\to 0}f(x)=L}$

Quel est un bon candidat pour ${\displaystyle \lim _{x\to 0}f(x)}$ dans notre exemple ?

On pourrait croire que calculer la limite en zéro revient à remplacer x par 0 dans la formule qui donne ${\displaystyle f(x)}$, c'est-à-dire calculer ${\displaystyle f(0)}$.

Mais le problème de la limite d'une fonction en zéro se pose surtout lorsque cette fonction est bien définie « autour » de zéro par une formule algébrique, mais que cette formule n’est pas valable pour ${\displaystyle x=0}$.

Limite d'une fonction non définie en zéro

Soit la fonction ƒ définie par, pour ${\displaystyle x>0,~f(x)={\frac {{\sqrt {x^{2}+1}}-1}{x}}}$

1. Expliquer pourquoi ƒ n’est pas définie en 0.

2. Tracer la courbe de ƒ.

3. Remplir le tableau suivant :

${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}x&1&0,1&0,01&0,001&0,000\,1&0,000\,01\\\hline f(x)&\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \end{array}}}$

Quel est un bon candidat pour ${\displaystyle \lim _{x\to 0}f(x)}$ dans notre exemple ?

Exercice

Trouver ${\displaystyle \lim _{x\to 0}f(x)}$ dans les 3 cas suivants par expérimentation sur la calculatrice.

1. ${\displaystyle f_{1}(x)={\frac {\sin(x)}{x}}}$ ${\displaystyle \lim _{x\to 0}f_{1}(x)=\cdots }$

2. ${\displaystyle f_{2}(x)={\frac {\sin(x)}{\sqrt {x}}}}$ ${\displaystyle \lim _{x\to 0}f_{2}(x)=\cdots }$

3. ${\displaystyle f_{3}(x)={\frac {(x+1)^{2}-1}{x^{3}}}}$ ${\displaystyle \lim _{x\to 0}f_{3}(x)=\cdots }$