1.

a. ${\displaystyle U_{7}=2\times 1{,}5^{7}=34{,}171875}$.

b. ${\displaystyle S_{7}=2\;{\frac {1{,}5^{8}-1}{1{,}5-1}}=4\left(1{,}5^{8}-1\right)=98{,}515625}$.

2. ${\displaystyle V_{0}q^{7}=V_{7}}$ et ${\displaystyle V_{0}q^{9}=V_{9}}$ donc ${\displaystyle q^{2}={\frac {V_{9}}{V_{7}}}={\frac {137781}{15309}}=9}$.

a. Si ${\displaystyle q\geq 0}$ alors ${\displaystyle q={\sqrt {9}}=3}$ donc ${\displaystyle V_{0}={\frac {V_{7}}{3^{7}}}=7}$.

b. Sans la contrainte ${\displaystyle q\geq 0}$, il y a une seconde suite solution, avec ${\displaystyle q=-3}$ donc ${\displaystyle V_{0}=-7}$.

1. (U_n) est la suite géométrique de premier terme 10⁵ et de raison 1,7.
2. ${\displaystyle U_{10}=10^{5}\times 1{,}7^{5}=1419857}$.
3. Soit a % le pourcentage de bactéries qui meurent chaque jour. 1,7 = 2(1 – a/100) donc a = 100(1 – 1,7/2) = 15.

On pose sur chaque nouvelle case le double de ce que l’on a posé sur la case précédente. Ainsi, pour tout n, si l'on note u_n le nombre de grains posés sur la n-ième case :

u_n+1 = 2u_n.

Ainsi, (u_n) est la suite géométrique de raison q = 2 et de premier terme u₀ = 1 (1 grain sur la première case).

Le nombre total de grains est donc :

S = u₀ + u₂ + ··· + u₆₃ = ${\displaystyle {\frac {2^{64}-1}{2-1}}=2^{64}-1}$,

soit finalement, après un coup de calculette :

${\displaystyle S=18\;446\;744\;073\;709\;551\;615\;{\text{grains}}}$.