Graphes
Soient et deux ensembles.
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On appelle graphe de vers toute partie de .
On appelle application de vers tout triplet où est un graphe de vers tel que :
Dans pareil cas, on dit que
- est l'ensemble de départ ou la source de ,
- l'ensemble d'arrivée ou le but de ,
- le graphe de .
Pour un , l'unique de la définition est appelé image de par , noté . On note souvent .
Deux applications sont donc égales ssi elles ont même source, même but et même graphe.
Dans les cas particulier où (resp) on parle de fonction numérique (resp: complexe). Si on parle de suite d'éléments de .
On appelle identité de , l’application .
Restrictions, prolongements
Soit une application et .
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On appelle restriction de à , notée , l’application .
Soit maintenant telle que .
On appelle alors corestriction de à l’application .
Soit un sur-ensemble de , on appelle prolongement de à toute application telle que .
Composition
Pour plus de détails sur cette section, voir le chapitre « Composition » de la leçon « Opérations sur les fonctions ».
Soient et deux applications. On définit alors l'application composée de et par .
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Soient , et trois applications.
Alors .
Ainsi la notation est sans ambiguité.
Injections, surjections et bijections
Pour plus de détails sur toute cette section, voir le chapitre « Injection, surjection, bijection » de la leçon « Application (mathématiques) ».
Définitions
Soient une application et .
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On appelle antécédent de par tout élément tel que .
Exemple : pour , le réel n'a pas d'antécédent alors que en a deux.
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On dit que est :
- injective si tout élément de a au plus un antécédent par ; cela équivaut à ou encore, en contraposant, à ;
- surjective si tout élément de a au moins un antécédent par , c'est-à-dire ;
- bijective si elle est à la fois injective et surjective, ce qui équivaut à .
Exercice : Restreindre l’application de l'exemple précédent au départ et/où à l'arrivée pour la rendre injective/surjective/bijective.
Stabilité par composition
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Soient et deux applications.
- Si et sont injectives, alors l'est aussi.
- Si et sont surjectives, alors l'est aussi.
- Si est injective, alors l'est aussi.
- Si est surjective, alors l'est aussi.
Bijection réciproque
Soit une bijection. Pour tout , on note l'unique . Ceci permet de définir une application . On appelle cete application bijection réciproque de .
On a clairement les deux égalités et . Réciproquement :
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S'il existe une application telle que et , alors est bijective et .
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Si est bijective,
alors l'est aussi.
Auquel cas
Ainsi pour montrer qu'une application est bijective on peut :
- ou bien le faire à la main : à fixé dans , on montre qu’il existe un seul et unique antécédent ;
- ou bien construire une bijection réciproque (qui s'avère être la bijection réciproque).
Familles
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Soit et deux ensembles.
On appelle famille d'éléments de indexée par toute application .
On note plus volontiers que pour — on préfère également à .
Plusieurs cas de figure se présentent parfois :
- Si l'index est fini (au sens intuitif du terme), la famille est dite finie.
- Si , on parle de suite d'élément de .
- Si , on appelle sous-famille de la famille , la restriction de à .
Pour une famille d'éléments de , on pose
- , l'intersection des ,
- , leur réunion.
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Soit un ensemble.
On appelle partition de toute partie, P, de vérifiant :
- ,
- ,
- .
Exemple : une partition évidente de E est valable pour tout .
Images directes et réciproques
Soit une application.
Définition
Pour , on appelle image directe de par la partie de , notée et définie par . En particulier est appelé l'image de .
Pour , on appelle image réciproque de par la partie de , notée et définie par .
Remarques :
- est toujours envisageable, même si n’est pas bijective
- alors qu'en générale . C'est le cas ssi est surjective.
Exercice : étudier l'injectivité/surjectivité/bijectivité des applications et en fonction de celles de .
Fibres
Soit , les ensembles sont appelés les fibres de . Lorsque est surjective, elles forment une partition de , exercice dont on reparlera...
Remarques : Dire que est
- injective équivaut à dire que toute fibre de a au plus un élément,
- surjective équivaut à dire qu'aucune fibre de n'est vide,
- bijective équivaut à dire que toute fibre de est réduite à un singleton.
Quelques propriétés
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Soit une famille de parties de .
Alors et .
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Soit une famille de parties de .
Alors et .
On notera que l'interversion des quantificateurs ne donne qu'une implication, en effet « en haut » il y a un commun a tous les indices , tandis qu' « en bas » les dépendent de l'indice ce qui est plus faible.