Dans cet exercice on s'attellera à l'étude de la suite ${\displaystyle u_{n+1}=e^{(-hu_{n})}}$ avec ${\displaystyle u_{0}=0}$. On s'intéresse d’abord à ${\displaystyle h=1}$.

Écrire une procédure à une entrée ${\displaystyle n}$ renvoie ${\displaystyle e^{-n}}$.

> restart;
> suite:=proc(n) local a:
> a:=evalf(exp(-n)):
> RETURN(a):
> end;

Écrire une procédure qui donne les ${\displaystyle p}$ premiers termes de la suite ${\displaystyle (u_{n})}$

> liste:=proc(p) local L,k:
> L:=[0]:
> for k from 2 to p do
> L:=[op(L),suite(L[k-1])]:od:
> RETURN(L):
> end;

Écrire les instructions nécessaires pour tracer le graphe ${\displaystyle u_{n}=f(n)}$.

> n:=20:
> A:=[[0,0]]:
> B:=liste(n):
> for k from 1 to n do
> A:=[op(A),[k,B[k]]]:od:
> with(plots):
> pointplot(A,connect=true);

Maintenant on va faire varier les valeurs de h. Si on prend ${\displaystyle h=3}$, on a plus la convergence vers une seule limite, mais 2 limites distinctes.

Trouver la valeur de bifurcation.

Remarque : on sera bien sûr obligé d'augmenter la valeur de ${\displaystyle n}$.

> restart;
> h:=2.1718:
> n:=4000:
> u:=0:
> L:=u:
> A:=[]:
> for k from 1 to n do
> u:=evalf(exp(-h*u)):
> L:=L,u:
> A:=[op(i),[k,u]]:
> od:
> with(plots):
> pointplot(A,color=red,symbol=cross);

> h := 2.1718 ;
> u := 0 ;
> A := NULL ;
> for k from 1 to 4000 do
>     u := evalf(exp(-h*u)) ;
>     A := A, [k, u] ;
> od;
> plots[pointplot]([A],color = red,symbol = cross);