${\displaystyle f(x)=\left({\sqrt {2}}\cos(x-\pi /4)\right)^{5}}$ donc ${\displaystyle f=2^{5/2}(1-u^{2})^{2}u'=2^{5/2}(1-2u^{2}+u^{4})u'}$ avec ${\displaystyle u(x)=\sin(x-\pi /4)}$ donc une primitive de ${\displaystyle f}$ sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$ est

${\displaystyle F=2^{5/2}(u-2u^{3}/3+u^{5}/5)}$.

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2}}+{\frac {3\cos(2x)}{2}}}$ donc une primitive de ${\displaystyle f}$ sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$ est ${\displaystyle F:x\mapsto {\frac {x}{2}}+{\frac {3\sin(2x)}{4}}}$.

Une primitive de ${\displaystyle f}$ sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$ est ${\displaystyle F:x\mapsto {\frac {5\sin 3x}{3}}+\cos 3x}$.

Sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$ :

• une primitive de ${\displaystyle \sin ^{5}=-(1-\cos ^{2})^{2}\cos '=(-1+2\cos ^{2}-\cos ^{4})\cos '}$ est ${\displaystyle u:x\mapsto -\cos +2{\frac {\cos ^{3}}{3}}-{\frac {\cos ^{5}}{5}}}$ ;
• une primitive de ${\displaystyle x\mapsto \cos ^{4}x={\frac {\cos 4x}{8}}+{\frac {\cos 2x}{4}}+{\frac {3}{8}}}$ est ${\displaystyle v:x\mapsto {\frac {\sin 4x}{32}}+{\frac {\sin 2x}{8}}+{\frac {3x}{8}}}$ ;
• une primitive de ${\displaystyle f}$ est donc ${\displaystyle F=u-v}$.

Une primitive sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$ de ${\displaystyle f=(1-\sin ^{2})\sin ^{6}\sin '}$ est ${\displaystyle F={\frac {\sin ^{7}}{7}}-{\frac {\sin ^{9}}{9}}}$.

La fonction ${\displaystyle x\mapsto \cos ^{2}4x\sin ^{3}4x}$ est égale à ${\displaystyle -{\frac {1}{4}}u^{2}(1-u^{2})u'}$ avec ${\displaystyle u(x)=\cos 4x}$ donc a pour primitive (sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$) ${\displaystyle {\frac {-u^{3}}{12}}+{\frac {u^{5}}{20}}}$.

Sur chaque intervalle ${\displaystyle I_{k}:=\left]k{\frac {\pi }{2}}+{\frac {\pi }{4}},k{\frac {\pi }{2}}+{\frac {3\pi }{4}}\right[}$ (avec ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$), une primitive de ${\displaystyle x\mapsto \tan ^{2}2x=(1+\tan ^{2}2x)-1}$ est ${\displaystyle x\mapsto {\frac {\tan 2x}{2}}-x}$.

Sur chaque intervalle ${\displaystyle I_{k}}$, une primitive de ${\displaystyle f}$ est donc

${\displaystyle F:x\mapsto {\frac {-\cos ^{3}4x}{12}}+{\frac {\cos ^{5}4x}{20}}+{\frac {\tan 2x}{2}}-x}$.

Sur chaque intervalle ${\displaystyle \left]k\pi -{\frac {\pi }{2}},k\pi +{\frac {\pi }{2}}\right[}$ (avec ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$), une primitive de ${\displaystyle f:x\mapsto {\frac {1+\cos 2x}{2}}-\tan 'x}$ est

${\displaystyle F:x\mapsto {\frac {x}{2}}+{\frac {\sin 2x}{4}}-\tan x}$.

${\displaystyle f={\frac {u'}{4u^{3}}}}$ avec ${\displaystyle u=5+4\sin >0}$ donc une primitive de ${\displaystyle f}$ sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$ est ${\displaystyle F={\frac {-1}{8u^{2}}}}$.

Sur chaque intervalle ${\displaystyle \left]k\pi -{\frac {\pi }{2}},k\pi +{\frac {\pi }{2}}\right[}$ (avec ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$), une primitive de ${\displaystyle f={\frac {-\cos '}{\cos ^{3}}}}$ est ${\displaystyle F={\frac {1}{2\cos ^{2}}}}$.

La fonction ${\displaystyle u(x):=x^{2}+\sin x}$ est ${\displaystyle >0}$ sur deux intervalles : ${\displaystyle \left]-\infty ,a\right[}$ et ${\displaystyle \left]0,+\infty \right[}$ (avec ${\displaystyle a\approx -0{,}88}$). Sur chacun de ces deux intervalles, une primitive de ${\displaystyle f={\frac {u'}{\sqrt {u}}}}$ est ${\displaystyle F=2{\sqrt {u}}}$.