Exercice 2-1
Soit une fonction continue. Prouver que si :
alors la fonction est de signe constant.
Si alors la fonction (continue positive) est d'intégrale nulle, donc , c'est-à-dire .
De même, si alors , c'est-à-dire .
Exercice 2-2
Soient deux fonctions continues (). Démontrer que si est positive et si est majorée par une constante , alors :
.
.
Exercice 2-3
Soient une fonction continue positive sur avec et une primitive de . Prouver que
.
Par changement de variable, .
Par positivité de et décroissance de ,
c'est-à-dire
.
Exercice 2-4
Trouver un encadrement de chacune des intégrales suivantes :
- ;
- .
La question est si vague qu'elle laisse tout loisir de surenchérir dans l'imprécision :
- donc ;
- pour , donc .
Exercice 2-5
Soit .
- Prouver que pour :
- .
- En déduire que :
- .
- donc donc . De plus, car .
- et . De plus, ce minorant et ce majorant de sont stricts car dans la question 1, les inégalités entre ces fonctions continues sont strictes sur .
Exercice 2-6
Soit une fonction continue telle que, pour tout de :
- .
Soit une primitive de .
- Prouver que :
- .
- En déduire que :
- .
- En déduire que :
- .
- donc .
- .
- Par Cauchy-Schwarz, .
Exercice 2-7
Démontrer que pour tout entier naturel :
- .
.
.
Exercice 2-8
- Étudier les variations de la fonction définie par :
- .
- Prouver que :
- .
-
- est paire donc il suffit de l'étudier sur .
- s'annule en .
- est (strictement) décroissante sur et croissante sur . Elle s'annule en et en (qui est donc , ce qui était prévisible puisque ).
- .
- .
-
- donc .
- donc .
Exercice 2-9
Démontrer que :
- .
Sur , la fonction est croissante donc comprise entre et .
Son intégrale de à est donc bien comprise entre et .