Intégration en mathématiques/Exercices/Calculs indirects

Exercice 16-1

Soit $I$ et $J$ les intégrales suivantes :

I=\int _{0}^{x}\cos ^{2}t\,\mathrm {d} t,\qquad \qquad J=\int _{0}^{x}\sin ^{2}t\,\mathrm {d} t

.

Calculer simultanément $I$ et $J$ .

Solution

I+J=\int _{0}^{x}\mathrm {d} t=x\quad {\text{et}}\quad I-J=\int _{0}^{x}\cos 2t\,\mathrm {d} t={\frac {\sin 2x}{2}}

donc

I={\frac {2x+\sin 2x}{4}}\quad {\text{et}}\quad J={\frac {2x-\sin 2x}{4}}

.

Exercice 16-2

Calculer simultanément les intégrales suivantes :

I=\int _{0}^{x}\left(at^{2}+bt+c\right)\cos ^{2}t\,\mathrm {d} t

J=\int _{0}^{x}\left(at^{2}+bt+c\right)\sin ^{2}t\,\mathrm {d} t

.

Solution

I+J=\int _{0}^{x}\left(at^{2}+bt+c\right)\mathrm {d} t=a{\frac {x^{3}}{3}}+b{\frac {x^{2}}{2}}+cx={\frac {2ax^{3}+3bx^{2}+6cx}{6}}

et

I-J=\int _{0}^{x}\left(at^{2}+bt+c\right)\cos 2t\,\mathrm {d} t=

\left[\left(at^{2}+bt+c\right){\frac {\sin 2t}{2}}\right]_{0}^{x}-\int _{0}^{x}\left(2at+b\right){\frac {\sin 2t}{2}}\,\mathrm {d} t=

\left[\left(at^{2}+bt+c\right){\frac {\sin 2t}{2}}+\left(2at+b\right){\frac {\cos 2t}{4}}\right]_{0}^{x}-a\int _{0}^{x}{\frac {\cos 2t}{2}}\,\mathrm {d} t=

\left[\left(at^{2}+bt+c\right){\frac {\sin 2t}{2}}+\left(2at+b\right){\frac {\cos 2t}{4}}-a{\frac {\sin 2t}{4}}\right]_{0}^{x}=

{\frac {(2ax^{2}+2bx+2c-a)\sin 2x+(2ax+b)\cos 2x-b}{4}}

donc

I={\frac {4ax^{3}+6bx^{2}+12cx-3b+(6ax^{2}+6bx+6c-3a)\sin 2x+(6ax+3b)\cos 2x}{24}}

et

J={\frac {4ax^{3}+6bx^{2}+12cx+3b-(6ax^{2}+6bx+6c-3a)\sin 2x-(6ax+3b)\cos 2x}{24}}

.

Exercice 16-3

On considère les intégrales :

A=\int _{-\pi }^{\pi }\cos px\cos qx\,\mathrm {d} x

B=\int _{-\pi }^{\pi }\sin px\sin qx\,\mathrm {d} x

où $p$ et $q$ sont des entiers naturels non nuls.

Calculer $A-B$ et $A+B$ . En déduire $A$ et $B$ .

Solution

$A-B=\int _{-\pi }^{\pi }\cos(p+q)x\,\mathrm {d} x=\left[{\frac {\sin(p+q)x}{p+q}}\right]_{-\pi }^{\pi }=0$ .

Si $q\neq p$ , $A+B=\int _{-\pi }^{\pi }\cos(p-q)x\,\mathrm {d} x=\left[{\frac {\sin(p-q)x}{p-q}}\right]_{-\pi }^{\pi }=0$ donc $A=B=0$ .
Si $q=p$ , $A+B=2\pi$ donc $A=B=\pi$ .

Exercice 16-4

Soit $f$ une fonction dérivable.

1° On pose $g(x)=xf(x)$ . Calculer $g'(x)$ .

2° Calculer :

\int _{\mathrm {e} }^{\mathrm {e} ^{2}}\left({\sqrt {\ln x}}+{\frac {1}{2{\sqrt {\ln x}}}}\right)\,\mathrm {d} x

.

Solution

$g'(x)=f(x)+xf'(x)$ .
Pour $x\geq \mathrm {e}$ , soit $f(x)={\sqrt {\ln x}}$ . Alors, pour $x>\mathrm {e}$ , $f'(x)={\frac {1}{2x{\sqrt {\ln x}}}}$ donc d'après la question précédente,
$\int _{\mathrm {e} }^{\mathrm {e} ^{2}}\left({\sqrt {\ln x}}+{\frac {1}{2{\sqrt {\ln x}}}}\right)\,\mathrm {d} x=\left[xf(x)\right]_{\mathrm {e} }^{\mathrm {e} ^{2}}=\mathrm {e} ^{2}{\sqrt {2}}-\mathrm {e}$ .

Exercice 16-5

On considère les deux intégrales suivantes :

$A=\int _{0}^{x}\operatorname {e} ^{t}\cos 2t\,\mathrm {d} t,\qquad \qquad B=\int _{0}^{x}\operatorname {e} ^{t}\sin 2t\,\mathrm {d} t$ .

1° À l'aide de la formule d'intégration par parties appliquée à $A$ et à $B$ , établir deux relations entre $A$ et $B$ . En déduire les valeurs de $A$ et de $B$ .

2° On pose :

I=\int _{0}^{x}\operatorname {e} ^{t}\cos ^{2}t\,\mathrm {d} t,\qquad \qquad J=\int _{0}^{x}\operatorname {e} ^{t}\sin ^{2}t\,\mathrm {d} t

.

Calculer

I+J

et

I-J

. En déduire les valeurs de de

I

et de

J

.

Solution

- $A=\left[\operatorname {e} ^{t}{\frac {\sin 2t}{2}}\right]_{0}^{x}-{\frac {B}{2}}={\frac {\operatorname {e} ^{x}\sin 2x}{2}}-{\frac {B}{2}}$ ;
- $B=\left[\operatorname {e} ^{t}{\frac {-\cos 2t}{2}}\right]_{0}^{x}+{\frac {A}{2}}={\frac {1-\operatorname {e} ^{x}\cos 2x}{2}}+{\frac {A}{2}}$ .
- $A={\frac {\operatorname {e} ^{x}(2\sin 2x+\cos 2x)-1}{4}}-{\frac {A}{4}}$ donc $A={\frac {\operatorname {e} ^{x}(2\sin 2x+\cos 2x)-1}{5}}$ ;
- $B={\frac {2+\operatorname {e} ^{x}(\sin 2x-2\cos 2x)}{4}}-{\frac {B}{4}}$ donc $B={\frac {2+\operatorname {e} ^{x}(\sin 2x-2\cos 2x)}{5}}$ .
- $I+J=\int _{0}^{x}\operatorname {e} ^{t}\,\mathrm {d} t=\operatorname {e} ^{x}-1$ ;
- $I-J=A$ .
- $I={\frac {5\operatorname {e} ^{x}-5+\operatorname {e} ^{x}(2\sin 2x+\cos 2x)-1}{10}}={\frac {\operatorname {e} ^{x}(2\sin 2x+\cos 2x+5)-6}{10}}$ ;
- $J={\frac {5\operatorname {e} ^{x}-5-\operatorname {e} ^{x}(2\sin 2x+\cos 2x)+1}{10}}={\frac {\operatorname {e} ^{x}(5-2\sin 2x-\cos 2x)-4}{10}}$ .

Exercice 16-6

Calculer :

\int _{1}^{x}2t\operatorname {e} ^{t^{2}+1}\,\mathrm {d} t

.

En déduire, par une intégration par parties :

\int _{1}^{x}2t^{3}\operatorname {e} ^{t^{2}+1}\,\mathrm {d} t

.

Solution

$\int _{1}^{x}2t\operatorname {e} ^{t^{2}+1}\,\mathrm {d} t=\left[\operatorname {e} ^{t^{2}+1}\right]_{1}^{x}=\operatorname {e} ^{x^{2}+1}-\operatorname {e} ^{2}$ .

$\int _{1}^{x}2t^{3}\operatorname {e} ^{t^{2}+1}\,\mathrm {d} t=\left[t^{2}\operatorname {e} ^{t^{2}+1}\right]_{1}^{x}-\int _{1}^{x}2t\operatorname {e} ^{t^{2}+1}\,\mathrm {d} t=\left(x^{2}-1\right)\operatorname {e} ^{x^{2}+1}$ .

Exercice 16-7

1° Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ . Donner, en fonction de $f$ et de $f'$ , l'expression de la dérivée de la fonction $F$ définie sur $I$ par $F(x)={\frac {f(x)}{\mathrm {e} ^{x}}}$ .

2° Démontrer qu'il existe un couple $(A,B)$ de réels tel que, quel que soit $x\neq -1$ , on ait :

{\frac {x+2}{(x+1)^{2}}}={\frac {A}{(x+1)^{2}}}+{\frac {B}{x+1}}

.

En déduire qu'il existe une fonction

v

telle que :

v(x)-v'(x)={\frac {x+2}{(x+1)^{2}}}

.

3° Quel est l'ensemble des primitives de la fonction $F$ lorsque $f(x)={\frac {x+2}{(x+1)^{2}}}$ ?

Solution

$F(x)=f(x)\operatorname {e} ^{-x}$ donc $F'(x)=\left(f'(x)-f(x)\right)\operatorname {e} ^{-x}$ .
$A=B=1$ , $v(x)={\frac {1}{x+1}}$ .
$F(x)=\left(v(x)-v'(x)\right)\operatorname {e} ^{-x}$ est la dérivée de $x\mapsto -v(x)\operatorname {e} ^{-x}$ donc les primitives de $F$ sont les fonctions de la forme $x\mapsto k-{\frac {1}{(x+1)\operatorname {e} ^{x}}}$ , avec $k\in \mathbb {R}$ .

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