Intégration en mathématiques/Exercices/Calculs d'aires 3

Toutes les courbes représentatives considérées sont supposées tracées dans un repère orthonormé.

Exercice 22-1

Déterminer l'aire du sous-ensemble du plan délimité par les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ définies par :

f(x)={\frac {x^{2}}{4}}

;

g(x)=-{\frac {x^{2}}{4}}+x+12

.

Solution

$g(x)-f(x)=-{\frac {x^{2}}{2}}+x+12=-{\frac {(x+4)(x-6)}{2}}$ .

$\int _{-4}^{6}(g-f)=\left[-2\left({\frac {x}{2}}\right)^{3}+2\left({\frac {x}{2}}\right)^{2}+12x\right]_{-4}^{6}=-2(27+8)+2(9-4)+12(6+4)=60$ .

Exercice 22-2

Déterminer l'aire du sous-ensemble du plan délimité par les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ définies par :

f(x)=\cos x

;

g(x)={\frac {2x}{\pi }}+1

.

Solution

$\int _{-\pi }^{0}|f-g|=2\int _{-\pi /2}^{0}(f-g)=2\left[\sin x-{\frac {x^{2}}{\pi }}-x\right]_{-\pi /2}^{0}=-2\left(-1-{\frac {\pi }{4}}+{\frac {\pi }{2}}\right)=2-{\frac {\pi }{2}}$ .

Exercice 22-3

Déterminer l'aire du sous-ensemble du plan délimité par les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ définies par :

f(x)=x^{4}

;

g(x)={\sqrt[{4}]{x}}

.

Solution

$\int _{0}^{1}(g-f)=\left[{\frac {4x^{5/4}-x^{5}}{5}}\right]_{0}^{1}={\frac {3}{5}}$ .

Exercice 22-4

Déterminer l'aire du sous-ensemble du plan délimité par les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ définies par :

f(x)=x^{2}

;

g(x)=x+2

.

Solution

$g(x)-f(x)=-(x-2)(x+1)$ .

$\int _{-1}^{2}(g-f)=\left[-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{2}}{2}}+2x\right]_{-1}^{2}={\frac {9}{2}}$ .

Exercice 22-5

On considère la fonction $f_{a,b}:=a\sin +b\sin ^{3}$ .

1° Calculer $f_{a,b}'$ et $f_{a,b}''$ .

2° En déduire l'expression générale des primitives de la fonction $f_{a,b}$ .

3° Quelle est, parmi les fonctions données, celles dont la courbe représentative $C$ passe par le point $A\left(\pi /2,0\right)$ et a une tangente au point d'abscisse $0$ parallèle à la première bissectrice ? Soit $f$ cette fonction.

4° Étudier la variation de $f$ et tracer sa courbe représentative dans un repère orthonormal $(O,\,{\vec {i}},\,{\vec {j}})$ .

5° Calculer l’aire comprise entre la courbe $C$ , l'axe des abscisses et les deux droites d'équations respectives $x=0$ et $x=\pi /2$ , et donner le résultat en centimètres carrés (unité graphique 2 cm).

Solution

$f_{a,b}'=a\cos +3b\sin ^{2}\cos =(a+3b)\cos -3b\cos ^{3}$ et $f_{a,b}''=-(a+3b)\sin +9b\cos ^{2}\sin =(6b-a)\sin -9b\sin ^{3}=f_{6b-a,-9b}$ .
D'après la question précédente, une primitive de $f_{a,b}$ est $c\cos +d\cos ^{3}+k$ avec $c,d$ définis par $a=-3d-c$ et $b=3d$ , c'est-à-dire $d=b/3$ et $c=-a-b$ . Les primitives de $f_{a,b}$ sont donc les fonctions $-(a+b)\cos +(b/3)\cos ^{3}+k$ , avec $k\in \mathbb {R}$ .
$\left(0=f_{a,b}(\pi /2)=a+b\quad {\text{et}}\quad 1=f'_{a,b}(0)=a\right)\Leftrightarrow (a,b)=(1,-1)$ donc $f=\sin -\sin ^{3}=\sin \cos ^{2}$ .
$f$ est impaire et $f(\pi -x)=f(x)$ , donc il suffit de l'étudier sur $\left[0,\pi /2\right]$ . Sur cet intervalle, elle est croissante jusqu'à $\arcsin(1/{\sqrt {3}})$ puis décroissante, avec $f(0)=f(\pi /2)=0$ .
$\left[-\cos ^{3}/3\right]_{0}^{\frac {\pi }{2}}=$ ¹⁄₃ unité d'aire, soit ⁴⁄₃ cm².

Exercice 22-6

1° Soit $f_{a}$ la fonction définie par :

f_{a}(x)={\frac {(x+1)^{2}}{x^{2}+ax+1}}

où

a

est un nombre réel donné.

Pour quelles valeurs de

a

cette fonction est-elle définie sur

\mathbb {R}

tout entier ?

En supposant qu'il en est ainsi, étudier la variation de cette fonction.

2° Construire la courbe $C_{0}$ représentant la fonction $f_{0}$ .

Démontrer que la courbe

C_{0}

a un centre de symétrie

A

. On notera que

f_{0}(x)

peut s'écrire sous la forme :

f_{0}(x)=1+{\frac {2x}{x^{2}+1}}

.

Déterminer la tangente en

A

à la courbe.

3° Soit $M$ le point de $C_{0}$ représentant le maximum de la fonction $f_{0}$ .

Calculer l'aire de la surface comprise entre l'arc

{\overset {\displaystyle \frown }{AM}}

de

C_{0}

et sa corde.

Solution

$a^{2}-4<0\Leftrightarrow a\in \left]-2,2\right[$ .
$f'(x)={\frac {(2-a)(1-x^{2})}{(x^{2}+ax+1)^{2}}}$ donc $f$ est croissante sur $\left[-1,1\right]$ et décroissante sur $\left]-\infty ,-1\right]$ et sur $\left[1,+\infty \right[$ . Sa limite en $\pm \infty$ est $1$ , et $f(-1)=0$ , $f(1)={\frac {4}{2+a}}$ .
Le tableau de variation est ː

Le tracé de la courbe $C_{0}$ est alors ː

La courbe $C_{0}$ est symétrique par rapport au point $A(0,1)$ car $x\mapsto f_{0}-1$ est impaire.
La tangente en ce point a pour équation $y=2x+1$ .
$M$ a pour coordonnées $(1,2)$ donc $(AM)$ a pour équation $y=1+x$ .
$\int _{0}^{1}\left(f_{0}(x)-1-x\right)\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}\left({\frac {2x}{x^{2}+1}}-x\right)\,\mathrm {d} x=\left[\ln \left(x^{2}+1\right)-{\frac {x^{2}}{2}}\right]_{0}^{1}=\ln 2-{\frac {1}{2}}$ .

Exercice 22-7

1° Déterminer toutes les racines du polynôme $2x^{3}+x^{2}-3$ , en remarquant qu'il s'annule pour $x=1$ .

2° Étudier la fonction $f$ définie par :

f(x)={\frac {x^{3}+x^{2}+3}{x}}

et en construire la courbe représentative

C

dans un repère orthonormal.

3° Préciser la position de la courbe $C$ par rapport à la parabole $P$ d'équation $y=x^{2}+x$ .

4° Calculer, en fonction de $a\quad (a>1)$ , l'aire de la région limitée par la courbe $C$ , la parabole $P$ , la droite $x=1$ et la droite $x=a$ .

5° Déterminer $a$ , à $0{,}01$ près, pour que cette aire soit égale à $1$ .

Solution

${\frac {2x^{3}+x^{2}-3}{x-1}}=2x^{2}+3x+3>0$ .
$f$ est définie sur $\mathbb {R} ^{*}$ . Grâce à la question précédente, $f'(x)={\frac {2x^{3}+x^{2}-3}{x^{2}}}$ est du signe de $x-1$ donc $f$ est décroissante sur $\left]-\infty ,0\right[$ et sur $\left]0,1\right]$ , puis croissante sur $\left[1,+\infty \right[$ . $\lim _{-\infty }f=\lim _{+\infty }f=\lim _{0^{+}}f=+\infty ,\,\lim _{0^{-}}f=-\infty ,\,f(1)=5$
Le tableau de variation est ː

Le tracé de la courbe $C$ (en noir sur le dessin) est alors ː
$f(x)-\left(x^{2}+x\right)={\frac {3}{x}}$ donc $C$ est au-dessus de $P$ pour $x>0$ et en dessous pour $x<0$ .
La parabole $P$ a été représentée en vert sur le tracé ci-dessus et joue le rôle d'asymptote parabolique vis-à-vis de $C$ .
$3\int _{1}^{a}{\frac {\mathrm {d} x}{x}}=3\ln a$ .
$a={\sqrt[{3}]{\mathrm {e} }}\approx 1{,}40$ .

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