${\displaystyle 1+\int _{1}^{4}\left({\frac {1}{x}}+{\frac {1}{x^{2}}}\right)\,\mathrm {d} x=1+\left[\ln x-{\frac {1}{x}}\right]_{1}^{4}={\frac {7}{4}}+\ln 4}$.

${\displaystyle \int _{-{\frac {\pi }{4}}}^{0}(\cos -\tan )=\left[\sin +\ln |\cos |\right]_{-{\frac {\pi }{4}}}^{0}={\frac {{\sqrt {2}}+\ln 2}{2}}}$

1. ${\displaystyle f}$ est définie sur ${\displaystyle \left[-4,4\right]}$ et paire, donc il suffit de l'étudier sur ${\displaystyle \left[0,4\right]}$. Sur ${\displaystyle \left]0,4\right[}$, ${\displaystyle f'(x)={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{\sqrt {4+x}}}-{\frac {1}{\sqrt {4-x}}}\right)<0}$ donc ${\displaystyle f}$ est strictement décroissante sur ${\displaystyle \left[0,4\right]}$, de ${\displaystyle f(0)=4-2{\sqrt {2}}}$ à ${\displaystyle f(4)=0}$.
   Le reste de l'étude s'obtient par parité et l'on obtient le tableau de variation suivant :
   
   La courbe représentative (symétrique par rapport à l'axe des ordonnées) de la fonction ${\displaystyle f}$ est :
   
2. ${\displaystyle \int _{-4}^{4}f=2\left[{\frac {2(4+x)^{3/2}}{3}}-{\frac {2(4-x)^{3/2}}{3}}-2x{\sqrt {2}}\right]_{0}^{4}={\frac {16{\sqrt {2}}}{3}}}$.

1. ${\displaystyle f}$ est définie sur ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{-2,\,2\}}$ et impaire donc il suffit de l'étudier sur ${\displaystyle \left[0,2\right[}$ et ${\displaystyle \left]2,+\infty \right[}$. ${\displaystyle f'(x)=8\,{\frac {-3x^{2}-4}{(x^{2}-4)^{3}}}}$ est du signe de ${\displaystyle 4-x^{2}}$. Quand ${\displaystyle x}$ croît de ${\displaystyle 0}$ à ${\displaystyle 2}$, ${\displaystyle f(x)}$ croît (strictement) de ${\displaystyle f(0)=0}$ à ${\displaystyle \lim _{2}f=+\infty }$. Quand ${\displaystyle x}$ croît de ${\displaystyle 2}$ à ${\displaystyle +\infty }$, ${\displaystyle f(x)}$ décroît de ${\displaystyle +\infty }$ à ${\displaystyle 0}$.
   Le reste de l'étude s'obtient par imparité et l'on obtient le tableau de variation suivant :
   
   La courbe représentative (symétrique par rapport à l'origine) de la fonction ${\displaystyle f}$ est :
   
2. ${\displaystyle a=1,b=-1}$.
3. On peut utiliser la question 2 :
   ${\displaystyle \int _{-1}^{\frac {3}{2}}f=\left[{\frac {-1}{x-2}}+{\frac {1}{x+2}}\right]_{-1}^{\frac {3}{2}}=\dots }$ mais le calcul direct est plus rapide :
   ${\displaystyle \int _{-1}^{\frac {3}{2}}{\frac {8x}{(x^{2}-4)^{2}}}\,\mathrm {d} x=4\int _{-3}^{\frac {-7}{4}}{\frac {\mathrm {d} t}{t^{2}}}=4\left[{\frac {-1}{t}}\right]_{-3}^{\frac {-7}{4}}=4\left({\frac {4}{7}}-{\frac {1}{3}}\right)={\frac {20}{21}}}$.

1. Le graphique ${\displaystyle \Gamma }$ de la fonction ${\displaystyle f}$ est le suivant :
   
   (Sur le schéma, nous avons inclus la sécante de la question suivante qui partage le domaine défini précédemment en deux sous-ensembles vert et jaune d'aires égales.)
2. Pour ${\displaystyle 0<a<1}$, cette droite coupe la courbe en un point d'abscisse ${\displaystyle x_{a}={\sqrt {1-a}}}$. Or la condition est :
   ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}f=\int _{0}^{x_{a}}\left(f(x)-ax\right)\,\mathrm {d} x\Longleftrightarrow {\frac {1}{8}}=(1-a){\frac {x_{a}^{2}}{2}}-{\frac {x_{a}^{4}}{4}}\Longleftrightarrow {\frac {1}{2}}=x_{a}^{2}\left(2(1-a)-x_{a}^{2}\right)}$.
   La solution ${\displaystyle a}$ est donc déterminée par ${\displaystyle {\frac {1}{2}}=(1-a)^{2}}$, c'est-à-dire ${\displaystyle a=1-{\frac {1}{\sqrt {2}}}}$.

1. ${\displaystyle \left({\frac {-1}{2}}+p+q=0\quad {\text{et}}\quad {\frac {1}{2}}-{\frac {2q}{2^{3}}}=0\right)\Leftrightarrow \left(q=2\quad {\text{et}}\quad p=-{\frac {3}{2}}\right)}$.
   L'asymptote oblique ${\displaystyle \Delta }$ a alors pour équation ${\displaystyle y={\frac {x-3}{2}}}$.
   On obtient le tableau de variation suivant :
   
   La courbe représentative de la fonction ${\displaystyle f}$ est alors :
   
   (L'asymptote oblique ${\displaystyle \Delta }$ est représentée en vert sur le tracé)
2. ${\displaystyle \int _{3}^{X}{\frac {2}{x^{2}}}\,\mathrm {d} x={\frac {2}{3}}-{\frac {2}{X}}\to {\frac {2}{3}}}$ quand ${\displaystyle X\to +\infty }$.

L'aire de ${\displaystyle D}$ est égale à ${\displaystyle A_{P}-A_{C}}$ avec ${\displaystyle A_{P}=\int _{0}^{1}(1+x^{2})\,\mathrm {d} x={\frac {4}{3}}}$ et ${\displaystyle A_{C}={\frac {\pi }{4}}}$ (aire du quart de disque unité).

1. ${\displaystyle \int _{-1}^{1}(4-x^{3}-x^{2})\,\mathrm {d} x=\left[4x-{\frac {x^{4}}{4}}-{\frac {x^{3}}{3}}\right]_{-1}^{1}={\frac {22}{3}}}$.
2. ${\displaystyle x+1\leq -x^{2}+2x+1\Leftrightarrow 0\leq x\leq 1}$ et ${\displaystyle -x^{2}+2x+1\geq 0\Leftrightarrow 1-{\sqrt {2}}\leq x\leq 1+{\sqrt {2}}}$.
   ${\displaystyle A=A_{1}-A_{2}}$, ${\displaystyle A_{1}=\int _{1-{\sqrt {2}}}^{1+{\sqrt {2}}}(-x^{2}+2x+1)\,\mathrm {d} x=\int _{-{\sqrt {2}}}^{\sqrt {2}}(2-t^{2})\,\mathrm {d} t=\left[2t-{\frac {t^{3}}{3}}\right]_{-{\sqrt {2}}}^{\sqrt {2}}={\frac {8{\sqrt {2}}}{3}}}$, ${\displaystyle A_{2}=\int _{0}^{1}\left((-x^{2}+2x+1)-(x+1)\right)\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}\left(-x^{2}+x\right)\,\mathrm {d} x=-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{2}}={\frac {1}{6}}}$. ${\displaystyle A={\frac {8{\sqrt {2}}}{3}}-{\frac {1}{6}}={\frac {16{\sqrt {2}}-1}{6}}}$.