Intégration en mathématiques/Exercices/Calculs d'aires 1

Exercice 20-1

Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe d'équation :

y={\frac {1}{x^{3}}}

,

l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=1$ et $x=2$ .

Solution

$\int _{1}^{2}{\frac {\mathrm {d} x}{x^{3}}}=\left[{\frac {-1}{2x^{2}}}\right]_{1}^{2}={\frac {3}{8}}$ .

Exercice 20-2

Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe d'équation :

f(x)={\frac {1}{\cos ^{2}x}}

,

l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=0$ et $x={\frac {\pi }{4}}$ .

Solution

$\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}{\frac {1}{\cos ^{2}}}=\left[\tan \right]_{0}^{\frac {\pi }{4}}=1$ .

Exercice 20-3

Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe d'équation :

y=3x^{2}-x+5

,

l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=-1$ et $x=2$ .

Solution

$\int _{-1}^{2}\left(3x^{2}-x+5\right)\,\mathrm {d} x=\left[x^{3}-{\frac {x^{2}}{2}}+5x\right]_{-1}^{2}=9-{\frac {3}{2}}+15={\frac {45}{2}}$ .

Exercice 20-4

Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe d'équation :

y=\sin x-2\cos x

,

l'axe des abscisses et les droites d'équation $x={\frac {\pi }{4}}$ et $x={\frac {3\pi }{2}}$ .

Solution

Soit $a=\operatorname {arctan} 2$ . Alors, $\cos a={\frac {1}{\sqrt {5}}}$ et $\sin a={\frac {2}{\sqrt {5}}}$ donc

$-\int _{\frac {\pi }{4}}^{a}(\sin -2\cos )+\int _{a}^{a+\pi }(\sin -2\cos )-\int _{a+\pi }^{\frac {3\pi }{2}}(\sin -2\cos )=4(\cos a+2\sin a)-{\frac {3}{\sqrt {2}}}-2=4{\sqrt {5}}-{\frac {3}{\sqrt {2}}}-2$ .

Exercice 20-5

Calculer l'aire de l'un des sous-ensembles du plan délimités par la courbe d'équation :

y=(2+\cos x)\sin x

et l'axe des abscisses.

Solution

$\int _{0}^{\pi }(2+\cos )\sin =-\int _{1}^{-1}(2+t)\,\mathrm {d} t=\int _{-1}^{1}(2+t)\,\mathrm {d} t=\int _{-1}^{1}2\,\mathrm {d} t=4$ .

Exercice 20-6

Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe d'équation :

y=x^{2}(3-x)

et l'axe des abscisses.

Solution

$\int _{0}^{3}\left(3x^{2}-x^{3}\right)\,\mathrm {d} x=\left[x^{3}-{\frac {x^{4}}{4}}\right]_{0}^{3}={\frac {27}{4}}$ .

Exercice 20-7

Soient $f$ et $g$ les fonctions définies sur l'intervalle $\left[-3,-2\right]$ par :

f(x)={\frac {x}{x+1}}

et

g(x)=-{\frac {1}{x+1}}

.

Calculer l'aire du sous-ensemble plan délimité, dans un repère, par les courbes représentatives de $f$ et $g$ (sur l'intervalle $\left[-3,-2\right]$ ).

Solution

$\int _{-3}^{-2}(f-g)=\int _{-3}^{-2}1=1$ .

Exercice 20-8

Calculer l'aire de $\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid 0\leq x\leq \pi ,\;-\sin x\leq y\leq \sin x\}$ .

Solution

$\int _{0}^{\pi }2\sin x\,\mathrm {d} x=\left[-2\cos x\right]_{0}^{\pi }=4$ .

Déterminer le domaine $D:=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid 0\leq x\leq 2\pi ,\;\sin x\leq y\leq \cos x\}$ et calculer son aire.

Solution

L'ensemble des valeurs de $x\in [0,2\pi ]$ pour lesquelles $\sin x\leq \cos x$ est $[0,\pi /4]\cup [5\pi /4,2\pi ]$ . $D$ est délimité par les graphes de $\sin$ et $\cos$ sur ces deux intervalles et par les deux verticales $x=0$ et $x=2\pi$ .

$\int _{x\in [0,\pi /4]\cup [5\pi /4,2\pi ]}(\cos x-\sin x)\,\mathrm {d} x=\int _{x\in [-3\pi /4,\pi /4]}(\cos x-\sin x)\,\mathrm {d} x=\left[\sin x+\cos x\right]_{-3\pi /4}^{\pi /4}=2{\sqrt {2}}$ .

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