Intégration en mathématiques/Devoir/Intégrales eulériennes

— Ⅰ —

Soit $f$ une primitive, sur $\mathbb {R}$ , de l'application $\varphi$ qui, à tout réel $t$ , associe :

\varphi (t)={\frac {1}{2t^{2}-2t+1}}

.

1° Soit $g$ l’application de l'intervalle $S=\left]-{\frac {\pi }{2}},\,{\frac {\pi }{2}}\right[$ dans $\mathbb {R}$ définie par :

g(u)=f\left({\frac {1+\tan u}{2}}\right)

.

Prouver que

g

est dérivable sur

S

, puis que

g

est une fonction affine.

2° Montrer que :

{\frac {\pi }{2}}=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{2t^{2}-2t+1}}

.

— Ⅱ —

On considère l'application $I$ de $\mathbb {N} \times \mathbb {N}$ dans $\mathbb {R}$ définie par :

I(p,q)=\int _{0}^{1}t^{p}(1-t)^{q}\,\mathrm {d} t

.

1° En majorant convenablement $t(1-t)$ pour $t\in [0,\,1]$ , trouver la limite de la suite $\left(2^{n}I(n,n)\right)_{n\in \mathbb {N} }$ .

2° Montrer que :

\forall (p,q)\in \mathbb {N} \times \mathbb {N} \quad I(p+1,q+1)={\frac {q+1}{p+2}}I(p+2,q)

(on pourra utiliser une intégration par parties) et en déduire que :

\forall (p,q)\in \mathbb {N} \times \mathbb {N} \quad I(p,q)={\frac {q!\,p!}{(p+q+1)!}}

.

— Ⅲ —

1° Après avoir remarqué que :

2t^{2}-2t+1=1-2t(1-t)

,

simplifier, pour

t\in \left]0,1\right[

, l'expression de

{\frac {1}{2t^{2}-2t+1}}-\sum _{k=0}^{n}2^{k}t^{k}(1-t)^{k}

.

2° Quelle est la limite de la suite $w$ définie par :

\forall n\in \mathbb {N} \quad w_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {2^{k}(k!)^{2}}{(2k+1)!}}

?

Corrigé

Ⅰ 1° $g$ est dérivable sur $S$ comme composée de $u\mapsto {\frac {1+\tan u}{2}}$ , dérivable sur $S$ et de $f$ , dérivable sur $\mathbb {R}$ .

Pour tout

u\in S

,

g'(u)=f'\left({\frac {1+\tan u}{2}}\right)\times {\frac {\tan 'u}{2}}={\frac {1+\tan ^{2}u}{4\left({\frac {1+\tan u}{2}}\right)^{2}-4\left({\frac {1+\tan u}{2}}\right)+2}}=1

donc

g(u)=u+k

pour une certaine constante

k\in \mathbb {R}

(qui dépend du choix de la primitive

f

).

2°

\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{2t^{2}-2t+1}}=f(1)-f(0)=g\left({\frac {\pi }{4}}\right)-g\left({\frac {-\pi }{4}}\right)={\frac {\pi }{4}}+k-{\frac {-\pi }{4}}-k={\frac {\pi }{2}}

.

Ⅱ 1° Pour $t\in \left[0,1\right]$ , $0\leq t(1-t)={\frac {1}{4}}-\left(t-{\frac {1}{2}}\right)^{2}\leq {\frac {1}{4}}$ donc $0\leq I(n,n)\leq {\frac {1}{4^{n}}}$ donc $2^{n}I(n,n)\to 0$ .

2°

I(p+1,q+1)=\underbrace {\left[{\frac {t^{p+2}}{p+2}}(1-t)^{q+1}\right]_{0}^{1}} _{=0}+{\frac {q+1}{p+2}}I(p+2,q)

et

I(p+q,0)={\frac {1}{p+q+1}}

donc

I(p,q)={\frac {q}{p+1}}I(p+1,q-1)={\frac {q}{p+1}}{\frac {q-1}{p+2}}I(p+2,q-2)=\dots ={\frac {q}{p+1}}{\frac {q-1}{p+2}}\dots {\frac {1}{p+q}}I(p+q,0)={\frac {q!\,p!}{(p+q+1)!}}

.

Ⅲ 1° Soit $s=2t(1-t)$ . Alors,

{\frac {1}{2t^{2}-2t+1}}-\sum _{k=0}^{n}2^{k}t^{k}(1-t)^{k}={\frac {1}{1-s}}-{\frac {1-s^{n+1}}{1-s}}={\frac {s^{n+1}}{1-s}}={\frac {2^{n+1}t^{n+1}(1-t)^{n+1}}{2t^{2}-2t+1}}

.

2°

w_{n}=\sum _{k=0}^{n}2^{k}I(k,k)=\int _{0}^{1}\left({\frac {1}{2t^{2}-2t+1}}-{\frac {2^{n+1}t^{n+1}(1-t)^{n+1}}{2t^{2}-2t+1}}\right)\,\mathrm {d} t={\frac {\pi }{2}}-J_{n+1}\to {\frac {\pi }{2}}

car

0\leq J_{n}:=2^{n}\int _{0}^{1}{\frac {t^{n}(1-t)^{n}}{2\left(t-{\frac {1}{2}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}}}\,\mathrm {d} t\leq 2^{n+1}I(n,n)\to 0

.

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