Ⅰ

1°  La fonction ${\displaystyle F_{0}:x\mapsto \int _{1}^{x}{\frac {f(t)}{t}}\,\mathrm {d} t}$ a pour dérivée ${\displaystyle x\mapsto {\frac {f(x)}{x}}}$, et ${\displaystyle F(x)=F_{0}(3x)-F_{0}(x)}$.

Par conséquent, ${\displaystyle F'(x)=3{\frac {f(3x)}{3x}}-{\frac {f(x)}{x}}={\frac {f(3x)-f(x)}{x}}}$.

2°

a)  ${\displaystyle \int _{x}^{3x}{\frac {\mathrm {d} t}{t^{2}}}={\frac {1}{x}}-{\frac {1}{3x}}={\frac {2}{3x}}}$.

b)  ${\displaystyle \int _{x}^{3x}{\frac {\mathrm {d} t}{t}}=\ln(3x)-\ln x=\ln 3}$.

Ⅱ

1°  D'après Ⅰ-1, ${\displaystyle \forall x>0\quad F'(x)={\frac {\cos 3x-\cos x}{x}}={\frac {-4\cos x\sin ^{2}x}{x}}}$.

2°  ${\displaystyle F}$ est strictement décroissante sur ${\displaystyle \left]0,{\frac {\pi }{2}}\right]}$ et, pour tout ${\displaystyle k\in \mathbb {N} ^{*}}$, sur ${\displaystyle \left[2k\pi -{\frac {\pi }{2}},2k\pi +{\frac {\pi }{2}}\right]}$ ; elle est strictement croissante sur ${\displaystyle \left[2k\pi +{\frac {\pi }{2}},2k\pi +{\frac {3\pi }{2}}\right]}$ pour tout ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$.

Elle présente donc, pour tout ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$, un extremum local en ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}+k\pi }$ (minimum local si ${\displaystyle k}$ pair et maximum local si ${\displaystyle k}$ impair).

3°  ${\displaystyle F\left({\frac {\pi }{6}}\right)>0}$ (car ${\displaystyle \cos >0}$ sur ${\displaystyle \left[{\frac {\pi }{6}},{\frac {\pi }{2}}\right[}$) et ${\displaystyle F\left({\frac {\pi }{2}}\right)<0}$ (car ${\displaystyle \cos <0}$ sur ${\displaystyle \left]{\frac {\pi }{2}},{\frac {3\pi }{2}}\right[}$).

D'après le théorème des valeurs intermédiaires, ${\displaystyle F}$ s'annule donc au moins une fois sur ${\displaystyle \left]{\frac {\pi }{6}},{\frac {\pi }{2}}\right[}$.

4°  ${\displaystyle F(x)=\left[{\frac {\sin t}{t}}\right]_{x}^{3x}+\int _{x}^{3x}{\frac {\sin t}{t^{2}}}\,\mathrm {d} t}$ donc

${\displaystyle \left|F(x)-{\frac {\sin 3x-3\sin x}{3x}}\right|\leqslant \int _{x}^{3x}{\frac {1}{t^{2}}}\,\mathrm {d} t={\frac {2}{3x}}}$ donc

${\displaystyle \left|F(x)\right|\leqslant {\frac {2}{3x}}+{\frac {1+3}{3x}}={\frac {2}{x}}}$ donc

${\displaystyle \lim _{+\infty }F=0}$.

5°  ${\displaystyle |\cos |\leqslant 1}$ donc (pour tout ${\displaystyle x>0}$) ${\displaystyle |F(x)|\leqslant \int _{x}^{3x}{\frac {\mathrm {d} t}{t}}=\ln 3}$.

Ⅲ

1°  ${\displaystyle \ln 3-F(x)=\int _{x}^{3x}{\frac {1-\cos t}{t}}\,\mathrm {d} t=\int _{x}^{3x}{\frac {2\sin ^{2}(t/2)}{t}}\,\mathrm {d} t}$ est compris entre ${\displaystyle \int _{x}^{3x}0\,\mathrm {d} t=0}$ et ${\displaystyle \int _{x}^{3x}{\frac {2(t/2)^{2}}{t}}\,\mathrm {d} t={\frac {1}{2}}\int _{x}^{3x}t\,\mathrm {d} t={\frac {9x^{2}-x^{2}}{4}}=2x^{2}}$.

2°  Par conséquent, ${\displaystyle G'(0)=0}$.