< Initiation à l'arithmétique
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Diviseurs d'un nombre entier
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Définition
Soient et deux entiers. On dit que est un diviseur de — ou que est un multiple de — s'il existe un entier tel que .
Exemple
- donc 6 et 2 sont des diviseurs de 12.
- mais 1,5 n’est pas entier donc 8 n’est pas un diviseur de 12.
- Tout nombre pair positif s'écrit sous la forme 2n avec n entier naturel.
Nombres premiers
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Définition
Un nombre premier est un entier naturel n qui a exactement deux diviseurs positifs distincts : 1 et n.
Exemple
- 2, 3, 5 et 7 sont premiers.
- 12 n’est pas premier.
- 1 n’est pas premier.
- 0 n’est pas premier.
Crible d'Ératostène
On forme une table avec tous les entiers naturels compris entre 2 et 120 (par exemple) et on raye les uns après les autres les entiers qui ne sont pas premiers de la manière suivante : dès que l’on trouve un entier qui n'a pas encore été rayé, il est déclaré premier, et l'on raye tous les autres multiples de celui-ci.
Il suffit de poursuivre jusqu'à 11 ... pourquoi ?
Décomposition en produit de facteurs premiers
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Propriété
Tout entier supérieur ou égal à 2 :
- soit est un nombre premier ;
- soit se décompose de manière unique en un produit de nombres premiers.
Exemple
- .
Méthode de décomposition
Décomposons 1 848 en produit de facteurs premiers.
nombre | diviseurs |
---|---|
1848 | 2 |
924 | 2 |
462 | 2 |
231 | 3 |
77 | 7 |
11 | 11 |
1 |
donc
- .
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